简正振动、声子(杨)

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1、§3.2三维晶格的振动本节讨论三维晶格振动，得到晶格振动的基本特征和一些普遍的结论。一、运动方程及其解设晶体原胞的基矢为a1、a2、a3；沿基矢方向晶体各有N1、N2、N3个原胞，即晶体一共有N＝N1N2N3个原胞；每个原胞内有n个原子，质量为个原胞第p个原子的平衡点位置矢量为第原胞内第p个原子的位置矢量。每个原胞中，n个不同原子平衡位置的相对坐标为该原子相对于平衡点的位移为它沿坐标轴的分量为上式是3nN个相耦合的运动方程组。是原子（l,p）与原子（l’,p’）之间的准弹性力系数第p个原子在方向

2、的运动方程为把一维晶格动力学方程的试解加以推广，设三维晶格行波试解为：将试解代入运动方程，可得到3n个线性齐次联立方程（由于晶格的平移对称性，使得3nN个联立方方程组减少到3n个）：使有非零解的条件是系数行列式等于零：由此可得到3n个色散关系每个色散关系代表一支格波，共有3n支格波。格波的色散关系中，有3支当另外，3n-3支是描述原胞内各个原子之间的相对运动，称为光学支。这三支称为声频波，它们是描述原胞与原胞之间的相对运动，其色散关系在长波近似下与弹性波类似，称为声学支；波矢空间以二、周期性边界

3、条件确定模式数目波矢q为为倒基矢，则根据波恩－卡门边界条件或写成由（6）式，得边界条件表示，沿着方向，原胞的标数增加振动情况相同。即也就是说应用到关系为整数。代回（4）式代表q空间均匀分布的点子.若是倒格矢，则不变。因此q的取值可限制在第一布里渊区之内。个q值。倒空间原胞体积：原胞体积第一布里渊区里共有波矢q的点在布里渊区中的密度为如果q改变一个倒格子矢量从三维晶格行波试解：可以看出，q的作用只在于确定不同原胞之间振动位相的联系，具体表现在位相因子：由于不影响位相因子，因而对格波的描述没有任何区

4、别。对第一个波矢q，有3n个与之对应，每一组表示晶格的一种振动模式，由此可知三维晶体中振动模式数目为3nN个。对于有N个原胞的三维晶体，每个原胞有n个原子，每个原子有3个自由度，所以晶体的总自由度数也是3nN。波矢q增加一个倒格矢，原子的位移保持不变。－－第一布里渊区。晶格振动的波矢数目等于晶体的原胞数N；格波振动模式数目等于晶体中所有原子的自由度数之和3nN。概括起来，我们得到以下结论：§3.3简正振动　声子理论考虑：前面我们根据牛顿定理用直接解运动方程的方法，求解一维链的振动模，得出如下结论

5、：晶体中原子的集体振动-----格波，可展开成简谐平面波的线性迭加。对微弱振动（简谐近似），每个格波就是一个简谐波，格波之间的相互作用可忽略，形成独立格波模式。在玻恩-卡门周期性边界条件下，得到分立的独立格波模式，可用独立简谐振子来表述。下面我们根据分析力学原理，引入简正坐标，直接过渡到量子理论，并引入声子概念－－晶格振动中的简谐振子的能量量子。一、简谐近似和简正坐标数学处理：通过引入简正坐标，将晶格振动总能量（哈密顿量）=动能+势能（化成）=独立简谐振子能量之和从经典力学的观点，晶格振动是一个

6、典型的小振动问题，凡是力学体系自平衡位置发生微小偏移时，该力学体系的运动都是小振动。上一节关于晶格的运动方程之所以能够化成线性齐次方程组，是简谐近似的结果，即忽略原子相互作用的非线性项得到的。处理小振动问题的理论方法和主要结果－－做为晶格振动这部分内容的理论基础。在第二章我们已经讨论过，当原子处于平衡位置时，原子间的相互作用势能取最小值。相互作用势能是原子偏离平衡位置位移的函数。N个原子的位移矢量共有3N个分量，写成原子相互作用势能是这些位移分量的函数，即将在平衡位置展开成泰勒级数因在平衡位置势

7、能取极小值，所以上式右端第二项为零，若取U0为能量零点，并略去二次以上的高次项，得到上式即为简谐近似下，势能的表示式，包含了位移交叉项。处理小振动问题一般都取简谐近似。对于一个具体的物理问题是否可以采用简谐近似，要看在简谐近似条件下得到的理论结果是否与实验相一致。在有些物理问题中就需要考虑高阶项的作用，称为非谐作用。为了消去势能中的交叉项，使问题简化，引入简正坐标N个原子体系的动能函数为简正坐标与原子的位移坐标之间的正交变换关系：在简正坐标中，势能和动能化成由上式可得出正则动量振动系统的拉格朗日

8、函数为：于是系统的哈密顿函数化成将上式代入正则方程得到这是3N个相互无关的谐振子的运动方程，表明各简正坐标描述独立的简正振动。借助简正坐标，将N个相互耦合关联的原子组成的晶格的振动转化为3N个独立的谐振子的简谐振动。其中，任意简正坐标的解为：振动的圆频率原子的位移坐标和简正坐标间存在着正交变换关系：上式表明，每一个原子都以相同的频率作振动。当只考虑某一个Qj的振动时，位移坐标可表示为一个简正振动与位移坐标不同，不再只和个别原子相联系，而是表示整个晶体所有原子都参与的振动，而且它们振动频率相同。二