4-3 声子 4-4 声子动量----

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1、§§4.3.4.3.格波的能量量子格波的能量量子声声子子1、格波的1)、格波作用下，晶体的能量：各原子动能+相互间的势能。2)、各原子相互间的势能项含有交叉项目。能量3)、引进简正坐标消除交叉项，同时刚好转变量子为谐振子的形式。4)、量子力学谐振子模型的能量是量子化的。势能在平衡位置展开：33NN⎛⎞∂∂VV11⎛⎞233N⎛∂V⎞VV=+0∑∑⎜⎟∂∂uii+⎜⎟⎜⎟∂∂uuj+∑⎜⎜∂∂⎟⎟uuuijk+iiiii==11⎝⎠uuii026⎝⎠uuj00i=1⎝iujuk⎠只保留ui的二次项称作简谐近似。系统总能量中由于势能项中包含有依赖于两原子坐标的交叉项，这给理论表述带来了

2、困难，同时，由于u的变化i可以是连续的，所以总能量也是连续的。这是经典力学描述的结果。为使系统的势能和动能表示更加简化，现引入简正坐标：3Nmuii=∑aQijjQQQQQ1234,,,,iii3Nj=1简正坐标是数学上的一种处理方式，它是将各原子的各原始物理坐标进行线性叠加、组合，从而消除各原子的原始坐标的耦合（它反映了物理间的相互作用关系）。如将x1x2乘积项转化为Q1和Q2平方之和（Q1、Q2分别是x1、X2的线性叠加），消除物理坐标间的相关性，从而将方程中含有Q1或Q2分别提取出来，分别求解，数学上处理起来相当方便简洁。引入简正坐标的目的是为了使系统的势能函数和动能函数具有

3、简单的形式，即化为平方项之和而无交叉项。由于动能函数是正定的，根据线性代数理论，总可以找到这样的线性变换，使动能和势能函数同时化为平方项之和（具体过程可以参见陈长乐《固体物理学》P76-78，李正中《固体理论》P29-31），即：13N3N2122TQ=∑iVQ=∑ωii2i=12i=13N1222Hp=+∑()iiωQi2i=13N1222H=+∑()pQiiωi2i=1可见，经过变换后的哈密顿量已经不包含交叉项，成为我们所熟知的经典谐振子哈密顿量之和，也就是说在新的坐标系里，系统的原子振动可以被描述成简谐振子的运动，即用简正坐标来描述独立的简谐振动。2QQ+=ω0iN=1

4、,2,3,⋅⋅⋅,3iii系统振动由3N个独立的谐振子来表述任意简正坐标的解：QA=sin(ωt−δ)ii2QQ+=ω0iN=1,2,3,⋅⋅⋅,3iii系统振动由3N个独立的谐振子来表述任意简正坐标的解：QA=sin(ωt−δ)ii1独立谐振子能量量子化谐振子的解是大家熟知的：εii=+()n=ωi2是量子力学的结论。33NN1而系统本征态的能量为：En==+∑∑εiii()=ωii==112通过经典力学，我们已经获得晶格振动频率ω的表达式。1ε=+()n=ωiii2可见，从量子力学的观点看，表征原子集体运动的简谐振子的能量是量子化的，=ω每个振动模式能量的最小单位i被称为声

5、子（Phonon）。这是晶格振动量子理论最重要的结论。在经典理论中，势能函数是连续的，量子理论修正了这个错误，而保留了经典理论中原子振动要用集体运动方式描述的观点，因而按经典力学求出的色散关系是正确的，量子理论并没有改变其结论，只是对各模式振幅的取值做了量子化的规定。谐振子的基态能量并不为0，而是大于0:1E==ω02这个E称为零点能。当温度趋于绝对零度时，晶格0振动处于基态，但按照量子力学的观点，作为量子谐振子，它们依然振动着。能量量子化和零点能的存在是量能量量子化和零点能的存在是量子振子区别于经典振子的两大特点子振子区别于经典振子的两大特点，它们都是粒子波动性的体现。能量量子化

6、由于粒子deBroglie波的自身干涉；零点能的存在是源于粒子deBroglie波所固有的不确定关系。就平均而言，当粒子数越大，量子结果和经典结果越接近。2、声子数与既然格波的能量量子定义为声子，当格波格波振幅处于较高的激发态时晶体中就布局着较多的声子，即格波振幅较大时，晶体中的声子数较多。因此格波的振幅与声子的数目就有一定的关的对应关系系，下面我们就讨论这个关系。考虑长声学波的情况：即λ>>a时，可把晶体看作连续介质:u≈u0Cos(kx-ωt）描写的振动是一个行波，它的能量有一半是动能，另一半是弹性势能：1∂u2动能：动能：Ek=ρV⋅()2∂t将将u=uu=u0Cos(kxC

7、os(kx--ωωt)t)代入得：代入得：1222E=ρV⋅uωsin(kx−ωt)k02整个晶体中总动能的平均值为：整个晶体中总动能的平均值为：K111总22EV==ρunωω（）+=kO822（之所以在右项出现（之所以在右项出现1/21/2因子是因为动能只占整个动能因子是因为动能只占整个动能的的1/21/2，另外，另外1/21/2是势能），由此可得是势能），由此可得21u=（4n+）=/ρVω02这就是格波的这就是格波的振幅与声子数之间的关系振幅与声子数之间的关系