现代控制理论(第二章).ppt

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1、2.1线性定常齐次状态方程的解(自由解)2.2矩阵指数函数——状态转移矩阵2.3线性定常系统非齐次方程的解2.4*线性时变系统的解2.5*离散时间系统状态方程的解2.6*连续时间状态空间表达式的离散化第二章控制系统状态空间表达式的解2.1线性定常齐次状态方程的解(自由解)所谓系统的自由解，是指系统输入为零时，由初始状态引起的自由运动。此时，状态方程为齐次微分方程：(1)若初始时刻时的状态给定为则式(1)有唯一确定解：(2)若初始时刻从开始，即则其解为：(3)证明：和标量微分方程求解类似，先假设式(1)的解为的矢量幂级数形式(4)代入式(1)得：(5)既然式(4

2、)是式(1)的解，则式(5)对任意时刻都成立，故的同次幂项的系数应相等，有：在式(4)中，令，可得：将以上结果代入式(4)，故得：(6)等式右边括号内的展开式是矩阵，它是一个矩阵指数函数，记为，即(7)于是式(6)可表示为：再用代替即在代替的情况下，同样可以证明式2)的正确性。2.2矩阵指数函数——状态转移矩阵2.2.1状态转移矩阵齐次微分方程(1)的自由解为：或该式反应了状态矢量由初始状态到任意时刻的矢量变换关系，反应了状态矢量在空间随时间转移的规律，因此称为状态转移矩阵。2.2矩阵指数函数——状态转移矩阵注：状态矩阵一般不是常数，而是时间的函数起始矢量可以

3、任意取，系统求解区间可任意选定—状态空间法的优点满足初始状态的解是：满足初始状态的解是：令：则有：线性定常系统的状态转移矩阵2.性质二或(2)3.性质三或(3)1．性质一这就是组合性质，它意味着从转移到0，再从0转移到的组合。或(1)2.2.2状态转移矩阵(矩阵指数函数)的基本性质注：本性质可用于判断矩阵是否符合状态转移矩阵的条件或(4)这个性质说明，矩阵与A矩阵是可以交换的。注：本性质还表明，由状态转移矩阵可反推A！5.性质五对于方阵A和B，当且仅当AB=BA时，有而当AB≠BA是，则这个性质说明，除非距阵A与B是可交换的，它们各目的矩阵指数函数之积与其和的

4、矩阵指数函数不等价。这与标量指数函数的性质是不同的。4.性质四1．若A为对角线矩阵，即(5)则(6)2.若A能够通过非奇异变换予以对角线化，即2.2.3几个特殊的矩阵指数函数则(7)3.若A为约旦矩阵则(8)4.若(9)1.根据的定义直接计算2.变换A为约旦标准型（1）A特征根互异其中T是使A变换为对角线矩阵的变换阵。由式（7），有：2.2.4的计算编程，用计算机算，最终能得到收敛解。但很难得到解析解。例2-13.利用拉氏反变换法求(10)证明齐次微分方程两边取拉氏变换即故4.应用凯莱—哈密顿定理求对上式两边取拉氏反变换，从而得到齐次微分方程的解：（1）由凯莱

5、—哈密顿定理，方阵A满足其自身的特征方程，即所以有它是的线性组合。同理以此类推，都可用线性表示。(2)在定义中，用上面的方法可以消去A的n及n以上的幂次项，即（11）（3）的计算公式A的特征值互异时，则证明根据A满足其自身特征方程的定理，可知特征值和A是可以互换的，因此，也必须满足式（11），从而有：（12）上式对求解，即得式（12）。A的特征值均相同，为时，则证明同上，有：(13)上式对，求异数，有：再对求异数，有：重复以上步骤，最后有：由上面的n个方程，对求解，记得公式（13）。2）用标准型法求解特征值互异，转化成对角标准型，且A为友矩阵特征值：例2-1，

6、2-2，2-4：求以下矩阵A的状态转移矩阵[解]：1）直接算法（略）3）用拉氏变换法求解例2-6，利用凯莱-哈密顿定理—-----------------自学！例2-3与例2-7也请注意自学！2.3线性定常系统非齐次方程的解现在讨论线性定常系统在控制作用作用下的强制运动。此时状态方程为非齐次矩阵微分方程：当初始时刻初始状态时，其解为：式中，。（1）（2）当初始时刻为，初始状态为时，其解为：式中，。（3）证明采用类似标量微分方程求解的方法，将式（1）写成：等式两边同左乘，得：即（4）对式（4）在上间积分，有：整理后可得式（2）：同理，若对式（4）在上积分，即可证

7、明式（3）。式（2）也可从拉氏变换法求得，对式（1）进行拉氏变换，有：即上式左乘，得：（5）注意式（5）等式右边第二项，其中：两个拉氏变换函数的积是一个卷积的拉氏变换，即以此代入式（5），并取拉氏反变换，即得：在特定控制作用下，如脉冲函数、阶跃函数和斜坡函数的激励下，则系统的解式（2）可以简化为以下公式：1.脉冲响应即当时2.阶跃响应即当时3.斜坡响应即当时（6）（7）（8）例2-8要求掌握！例2-8：已知系统状态方程中试求解该系统的单位阶跃响应。解法一：积分法例2-8：已知系统状态方程中试求解该系统的单位阶跃响应。解法二：拉氏变换法2.4*线性时变系统的解2

8、.4.1时变系统状态方程解的特点为了讨