§17-4 薛定锷方程.ppt

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1、§17-4薛定谔方程1924年德布罗意提出物质波假设后，人们便开始关注这具有波粒二象性的微观粒子所遵循的运动规律，希望能够建立一种新的原子力学。1926年，奥地利科学家薛定谔提出了描述物质波连续时空演化的偏微分方程——薛定谔方程，给出了量子论的一种数学描述——波动力学。物理史上第一个建立量子理论的人是海森伯.海森伯于1925年创立了量子力学的矩阵力学，并提出测不准原理。薛定谔描述低速微观粒子的运动的量子力学,有两个等价的理论:1928年，英国物理学家狄拉克，把相对论引入量子力学，建立了相对论形式的薛定谔方程，描述

2、高速运动的粒子的运动规律，称为相对论量子力学.波动力学------薛定格矩阵力学------海森伯建立薛定谔方程的主要依据和思路1）微观粒子满足德布罗意关系式2）满足非相对论的能量关系式3）波函数应遵从线性方程。若是方程的解，则也是它的解。若波函数与是某粒子的可能态，则它们的线性组合也是该粒子的可能态。4)自由粒子的外势场应为零，即U=0一、薛定谔方程上式取t的一阶偏导数得1.一维薛定谔方程一维自由运动粒子：无势场，不受力，动量不变一维自由运动粒子的波函数注意替换对x取一阶偏导数替换注意对x取二阶偏导数替换注意利

3、用动能和动量的关系可得称为一维运动自由粒子的薛定谔方程.取偏导后得推广到若粒子在势场U(x,t)中运动粒子的总能量可得替换实际上,在公式中做算符替换,然后作用于波函数,即可得到薛定谔方程.用算符替换然后后作用于波函数得称为势场中一维运动粒子的薛定谔方程=(x,t)是粒子在势场U=U(x,t)中运动的波函数。2.三维薛定谔方程式由一维方程推广可得三维薛定谔方程式拉普拉斯算子写为当U(r,t)=0时，方程的解为三维自由运动粒子的波函数。二、定态薛定谔方程1.一维定态薛定谔方程若粒子在恒定势场中运动，势能U=U(x

4、)与时间无关，这时波函数就可分离变量求解.波函数写成将波函数代入得两边同除以(x)f(t)，分离变量，得到:左边只与时间有关,右边只与空间坐标有关由量纲分析可知，E具有能量的量纲。左右两边的变量又相互独立，两边必须等于同一个常量E时，等式才能成立.令左端等于常数E，得积分令右端也等于常数E，得定态薛定谔方程1）势能不显含时间的粒子状态称为定态。讨论：3）称为定态的波函数。2)处于定态下的粒子在空间的概率密度分布不随时间发生变化。4）当粒子处于定态时,能量E有确定的值。与经典力学中机械能守恒的情况相对应.2.三维

5、定态薛定谔方程势能同样可得三维定态薛定谔方程定态波函数3.波函数的物理条件1)标准条件：必须是单值、有限、连续函数。原因:在任何一个地方，粒子的概率只能有一个值；不可能无限大；不可能在某处发生突变。2)归一化条件粒子在空间各点的概率总和应为1一维定态下薛定谔方程式+波函数的物理条件求解微观粒子在一定的势场中的运动问题(求波函数，状态能量，概率密度等)在量子力学中