定薛谔方程1schrodingeequation--毕业设计.doc

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1、上海交通大学硕士学位论文目录第一章引言-2-1.1耦合长短波方程的背景-2-1.1.1Schrodinger方程的介绍-2-1.1.2Kdv方程的介绍-8-1.1.3Schrodinger-KdV方程组及耦合长短波方程的由来-10-1.2Hamilton系统、辛算法及多辛算法-11-1.3原有的数值方法-17-1.3.1时间分裂方法-17-1.3.2Crank-Nicolson方法-19-第二章多辛格式-22-2.1EulerBox格式-24-2.2Preissman格式-30-2.3Fourier拟谱格式-35-第三章数值实验-40-3.1E_LS、CNI与Box_l

2、s的误差及阶数-40-3.2TSS与LS1的误差及阶数-49-第四章结论-55-参考文献-56-致谢-59--59-上海交通大学硕士学位论文第一章引言1.1耦合长短波方程的背景1.1.1Schrodinger方程的介绍薛定谔方程(Schrodingerequation)是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定，其正确性只能靠实验来检验。是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。一．关于

3、波的简单介绍波的形式是多种多样的，平面波是指在波的传递过程中在一段距离内波幅变动不大的波。描述平面波的状态的波函数为：(1.1)为波函数。x与t分别表示x方向的距离变量与时间变量。函数计算结果的物理量为波幅，即长度单位为米。A为波幅，单位为米。指平面波相对稳定的最大波幅绝对值。cos(kx--wt)为波幅的变动系数，数值在-1，0，+1之间变动。k为单位长度弧度数，即，单位为弧度／米。为单位时间弧度数，即，单位为弧度／秒。由于=波速度，=即波在传播过程中不同距离的时间差。波函数(1.1)式可以写成：(1.2)-59-上海交通大学硕士学位论文如果上述波函数(1.2)式去掉

4、括号中的第一项，得到：(1.3)即为一个以时间为变量的振幅函数，这样的波并不向外传播，而是在原地上下振动，余弦cos的正负角的函数值是相等的，因此括号中的负号可以忽略。如果波函数(1.2)式中去掉括号中的第二项同时保留第一项，得到：(1.4)即为一个以坐标为变量的函数，是描述波到达各种位置的振动位移情况。波函数(1.1)式也可以写成以e为底的复数形式：(1.5)通用的波动方程是如下形式：(1.6)化简为一维形式的波动方程：(1.7)函数是直接描述变量之间的关系，而物理方程则是在复杂的情况下表述各种物理量的关系，它可以包含各种函数，但对函数中的变量之间关系的表述不是那么直

5、接，函数表达式与方程之间，在一定条件下可以转换。下面给出具体的推导过程。对宏观平面波函数(1.5)式进行转换，得：(1.8)对时间二次微商得：整理得：-59-上海交通大学硕士学位论文对坐标二次微商得：整理得：将两个二次微商的结果连接得：引入波速u，将上式整理得到：这就是前面的一维形式的波动方程(1.7)式。可见波函数与波动方程在一定条件下可以相互转换。应当注意到由波函数转换为波动方程的过程中，波幅常量A消失了，说明这个波动方程中含有的波函数与波幅常量没有直接联系。如果由波动方程反解出波函数，这个常量A需经过归一化处理重新找回来。通常，参照一般的波动描述方式，似乎可以建立

6、一个类似的电磁波的波函数表达式：然而，我们以宏观的平面波方式来描述量子波时，必须考虑到量子波与平面波的重要区别：平面波的波函数描述的是一个波群(波束)，而量子波由于其量子性，表现为个体的量子波。即使一个有限的空间在一段有限的时间里，只有一个电子或者一个光子在运动，我们也得承认这个电子或者光子的波动性，应当也有波函数描述它。因此用波函数来描述量子波时，显然应当与描述光束或者电子束的方式有所区别，或者说不能用描述一般平面波的波函数的方法来描述量子波。分析光子的运动：光子在振动且以光速运动，以位置作为变量，光子的相位随之而变，换以时间作为变量，光子的相位也是随之而变。光子的波

7、幅、一个波动周期内的速度也是在随位置和时间变动的，但是波动量的大小与相位的变动是相关的。因此首先选取相位作为一个波动周期的因变量。将原来描述光束的函数式(1.8)改为描述单个光子的波函数：-59-上海交通大学硕士学位论文(1.9)函数的值就是相位，单位为弧度。将上述描述光子相位的函数用三角函数表示：(1.10)得到的是无量纲数，数值在-1，0，1之间变动，这就是我们描述概率幅的函数。加上适当的常数项A，使得波函数有适当的物理量，将模平方并按一定的物理量积分后，得到的结果是有量纲数，即概率密度：(1.11)根据(1.8)式对电磁波的函数表达