定态薛定谔方程.ppt

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1、对于薛定諤方程一个很重要的特殊情况，粒子所在的力场不仅是位置的函数。定态薛定諤方程一：定态随时间改变，即此时薛定諤方程为可用分离变量法求解，设特解为代入方程两边同时除以上式两边各有不同的变量，它们是独立都成立，(1)(2)变化的，要使上式对任意的变量两边必须等于一个常数，设常数为E，则(2)式写成或此式称为定态薛定諤方程对（1）式解出（C是常数）则薛定諤方程的特解（3）中并归一化。式中是满足定态薛定諤方程的解，在知道定态：如果体系处于（3）式所描述的状态时，其中常数C放入的具体表达式后求出。具有确定的能量

2、，这种状态叫定态。（3）式叫定态波函数。1：体系处于定态，其几率分布不随时间变化。即：几率分布与时间无关。二、定态的性质2：体系处于定态，其能量不随时间改变。哈密顿量H不显含时间，解薛定諤方程，其另外，已知自由粒子有确定能量和动量，其波（5）对自由粒子，其波函数可写成（4）函数而（4）式中E是作为常数引入的，对比两式，（5）式中E有明确的物理意义，是粒子能量。发现此常数E应是粒子的能量，这个常数是不随时间改变的。综上：作用于粒子上的力场不随时间改变，这样的问题只需解定态薛定諤方程即可：由解出然后得出即体系

3、的哈密顿量H不显含时间，§2.6一维无限深势阱如图，粒子在势场中运动。一、波函数Xa0U-a解：在阱外（）定态薛定諤方程是式中，根据波函数应满足的有限性时方程才成立，即和连续性条件，只有当阱内粒子满足定态薛定諤方程已知方程变为令方程变为通解为由波函数的连续性和边界条件确定A、B（1）当x＝a时（2）当x＝－a时，两式相加及相减，得到B不能同时为零，否则为零解。解有两组（2）组（1）组由（1）组由（2）组无论n为奇数或偶数都有又∵∴波函数（1）组，（2）组，利用∴势阱中波函数可写为归一化∴归一化波函数为前面

4、已经得出能量，能量量子化。二：能量当n取不同值时，n＝2，n＝3，n＝1，……能级间隔：当能级间隔与n成正比。当n取不同值时，波函数及几率密度三：几率分布如图，给出当n＝1时，几率密度令x＝a，x＝－a时，几率密度为零几率密度为极大值随x变化的情况得x＝0，x＝a，x＝－a时，几率密度取极值x＝0时，例1：试求边长为a，b，c的三维无限深势阱中粒子的能级和波函数。XYZ定态薛定諤方程令代入方程，得解：在势阱中U＝0方程两边同时除以，得得到式中，是常数，且有由作业题2.3,得一维无限深势阱方程及波函数∴波函

5、数为能量其中为正整数。令得§2.7线性谐振子一：经典情况经典力学中，谐振子（弹性系数为k），受一个指向平衡位置的力－kx，因而会在平衡位置作周期性往返运动，叫简谐运动。运动方程二阶微分方程的解为式中是由初始条件决定的振子振幅和是振子的圆频率。此处振子的势能不是常数，而是空间坐标的初位相，振子的势能为二次函数。二:线性谐振子的定态薛定諤方程量子力学中量子力学中的哈密顿算符哈密顿函数定态薛定諤方程为即为解此方程，作变换则方程变为即令：方程变为二：线性谐振子的能量及波函数或时方程当时有解∵∴∴考虑到当当……谐振

6、子能量是量子化的。线性谐振子能级图谐振子零点能（最小能量）（1）：谐振子零点能是n＝0时的基态相邻的能级间隔说明：能量。普朗克的假设有不够准确的地方2）：能级间隔相同，都是,普朗克理论仍然能够很好的解释黑体辐射的结果谐振子的波函数其中为n阶厄米多项式，属于特殊函数由此式可以得出满足下列递推公式的一种，可按下式求出下面是前几个厄米多项式式中是归一化常数，可由归一化条件定出为前几个波函数线性谐振子波函数，n＝0－n＝5线性谐振子几率密度，n＝0－n＝4对于n＝0的状态，在x＝0处几率密度最大，即与x轴的交点，

7、称为节点。振子在x＝0附近的几率最大。对于n＝1的状态，在x＝0处几率密度等于零，是一般的称的根，对应于n＝2的状态，波函数，及处为零，几率为零，即一般的，谐振子波函数有n个节点。在在两个节点附近出现的几率为零。本节运用定态薛定諤方程来考虑一维运动的粒子受方势垒散射的问题，方势垒是粒子受到势能为§2.8势垒贯穿一：势垒散射的势垒散射的情况。XUU00a所谓散射问题，就是要求一个动量和能量已知的粒子受到势场作用后被散射到各个方向的几率，在一维运动的情况下，粒子被散射后，或者穿透势垒，或者被散射。因此，我们要

8、求的是透射几率和反射几率。定义透射系数反射系数其中J：是入射波几率流密度JD：是透射波几率流密度JR：是透射波几率流密度（1）：经典力学中，只有当粒子的能量E大于势垒高度时，粒子才能越过势垒到达区域。当粒子的能量E小于势垒高度时，的区域。定量计算的结果：全部透射，没有反射全部反射，没有透射设粒子从负x区自左向右运动，射向势垒。粒子被散射回（2）：量子力学情况：和粒子能量E小于时，部分粒子越过势垒区域，部分粒子被散射回的区域。部