定态薛定谔方程讲义

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1、定态薛定谔方程一、定态Schrödinger方程(1)在一般情况下，从初始状态y(r,0)求y(r,t)是不容易的。以下，我们考虑一个很重要的特殊情形——假设势场V不显含时间t（在经典力学中，在这种势场中运动的粒子，其机械能守恒），此时薛定谔方程（1）可以用分离变量数法求其特解。与t无关时，可以分离变量令代入(1)式其中E是即不依赖于t，也不依赖于r的常量，这样(2)(3)——定态薛定谔方程由(2)解得其中为任意常数。把常数放到里面去，则(4)这个波函数与时间的关系是正弦式的，其角频率是ω=Ε/ħ按照德布罗意关系E=hν=ħω，E就是该体系处于这个波函数所描写状态时的能量。由此可见，当

2、体系处于（4）式所描写状态时，能量具有确定值E，所以这种状态称为定态，波函数y(r,t)称为定态波函数。定态有两个含义：1、；2、E具有确定值；（判断是否为定态的依据）空间波函数可由方程和具体问题应满足的边界条件得出。方程(3)称为定态Schrödinger方程，也可称为定态波函数，或可看作是t=0时刻yE(r,0)的定态波函数。二、Hamilton算符和能量本征值方程1、Hamilton算符(2)(3)再由Schrödinger方程：也可看出，作用于任一波函数y上的二算符,作用于体系任意一个波函数效果是相当的。这两个算符都称为能量算符。与经典力学相同，Ĥ称为Hamilton量，亦称H

3、amilton算符。2、能量本征值方程将改写成三、求解定态问题的步骤从数学上讲，对于任何E值，不含时的薛定谔方程（3）都有解，但并非对于一切E值所得出的解y(r)都满足物理上的要求。这要求有的是根据波函数的统计解释而提出的，有的是根据具体的物理情况而提出的，例如束缚态边条件，周期性边条件，散射态边条件等。在有的条件下，特别是束缚态边条件，只有某些E值所对应的解才是物理上可以接受的。这些E值称为体系的能量本征值，而相应的解yE(r)称为能量本征函数，不含时薛定谔方程（3）实际上就是在势场V（r）中粒子的能量本征方程。1、列出定态Schrödinger方程2、根据波函数三个标准条件（单值、

4、连续、有限）求解能量E的本征值问题，得：本征值：E1，E2，…，En，…本征函数：y1，y2，…，yn，…3、写出定态波函数即得到对应第n个本征值En的定态波函数4、通过归一化确定归一化系数Cn返回四、定态的性质1、粒子在空间几率密度以及几率流密度与时间无关；2、任何不显含t的力学量平均值与t无关；3、任何不显含t的力学量的测值几率分布也不随时间变化。如果对于同一E值，存在几个线性无关的函数，满足同一定态方程，这种情况称为简并，其中线性无关函数的个数则称为对应能级的简并度。五、定态解的正交性属于不同能量的定态解彼此正交。若En≠Em，则有即Ψm与Ψn正交。当En=Em时，如果能级不简并

5、，Ψm与Ψn实为同一函数，故积分不为零，适当选取常数可使其归一化。如果能级简并，简并度为f，则我们总可以从这f个线性无关的简并波函数中重新组合出f个函数，使其互相正交并归一化。于是定态解的全体满足以下正交归一化条件六、含时薛定谔方程的一般解定态是系统的稳定状态。注意，即使系统的哈密顿算符不显含时间，系统并非必须于定态。系统处于什么状态与初始情况有关。所以，一般情况下，我们尚需讨论在任意给定的初始条件下，系统将如何运动。薛定谔方程为一齐次线性微分方程，其通解可表示为诸特解的线性叠加2012年10月22日于河北工业大学北五202