波函数一维定态薛定谔方程

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1、大学物理学电子教案长江大学教学课件量子物理（4）15-6波函数一维定态薛定谔方程复习德布罗意波实物粒子的二象性不确定关系15-6波函数一维定态薛定谔方程薛定谔(ErwinSchrödinger,1887–1961)薛定谔在德布罗意思想的基础上，于1926年在《量子化就是本征值问题》的论文中，提出氢原子中电子所遵循的波动方程(薛定谔方程)，并建立了以薛定谔方程为基础的波动力学和量子力学的近似方法。薛定谔方程在量子力学中占有极其重要的地位，它与经典力学中的牛顿运动定律的价值相似。薛定谔对原子理论的发展贡献卓著，因而于1933年同英国物理学家狄拉克共获诺贝尔物

2、理奖金。薛定谔还是现代分子生物学的奠基人，1944年，他发表一本名为《什么是生命——活细胞的物理面貌》的书，从能量、遗传和信息方面来探讨生命的奥秘。奥地利著名的理论物理学家，量子力学的重要奠基人之一，同时在固体的比热、统计热力学、原子光谱及镭的放射性等方面的研究都有很大成就。狄拉克（PaulAdrienMauriceDirac，1902-1984）英国理论物理学家。1925年，他作为一名研究生便提出了非对易代数理论，而成为量子力学的创立者之一。第二年提出全同粒子的费米-狄拉克统计方法。1928年提出了电子的相对论性运动方程，奠定了相对论性量子力学的基础，

3、并由此预言了正负电子偶的湮没与产生，导致承认反物质的存在，使人们对物质世界的认识更加深入。他还有许多创见（如磁单极子等）都是当代物理学中的基本问题。由于他对量子力学所作的贡献，他与薛定谔共同获得1933年诺贝尔物理学奖金。一、波函数概率密度1、平面简谐波的波函数一个频率为n，波长为l、沿x方向传播的单色平面波的波函数为复数形式2、自由粒子的波函数一个自由粒子有动能E和动量p。对应的德布罗意波具有频率和波长：波函数可以写成振幅3、波函数的统计解释某一时刻出现在某点附近体积元dV中的粒子的概率，与波函数模的平方成正比。概率密度波函数Ψ(x,y,z,t)的统计

4、解释(哥本哈根解释)：波函数模的平方代表某时刻t在空间某点(x,y,z)附近单位体积内发现粒子的概率，即

5、Ψ

6、2代表概率密度。波函数的统计意义是波恩于1926年提出的。由于波恩在量子力学所作的基础研究，特别是波函数的统计解释，他与博特共享了1954年的诺贝尔物理学奖。电子数N=7电子数N=100电子数N=3000电子数N=20000电子数N=70000单个粒子在哪一处出现是偶然事件；大量粒子的分布有确定的统计规律。出现概率小出现概率大电子双缝干涉图样4、波函数满足的条件标准条件：波函数应该是单值、有限、连续函数。归一化条件：在任何时刻，某粒子必然出现在整

7、个空间内，它不是在这里就是在那里，所以总的概率为1，即对波函数的这个要求，称为波函数的归一化条件。归一化条件要求波函数平方可积。归一化因子：若某波函数ΨA未归一化归一化因子例：作一维运动的粒子被束缚在0

8、观粒子的运动状态由波函数来描写，状态随时间的变化遵循着一定的规律。1926年，薛定谔在德布罗意关系和态叠加原理的基础上，提出了薛定谔方程做为量子力学的又一个基本假设来描述微观粒子的运动规律。建立薛定谔方程的主要依据和思路：要研究的微观客体具有波粒二象性，应该满足德布罗意关系式对于一个能量为E，质量为m，动量为p的粒子若Ψ1是方程的解，则CΨ1也是它的解；若波函数Ψ1与Ψ2是某粒子的可能态，则C1Ψ1+C2Ψ2也是该粒子的可能态。波函数应遵从线性方程2、自由粒子的薛定谔方程分别对时间求一阶偏导数，对空间求二阶偏导数考虑到E=p2/2m把波函数与方程E=p2

9、/2m相乘，并用代替即可。3、势场中运动的粒子的薛定谔方程当粒子在势场中运动4、粒子在三维空间中的薛定谔方程哈密顿算符5、关于薛定谔方程的说明薛定鄂方程是量子力学的最基本的方程，是量子力学的一个基本原理；薛定鄂方程的解满足波函数的性质；因而在求解薛定鄂方程时，还要加上一些条件：波函数平方可积，且满足归一化条件；波函数及其对空间的一阶导数连续；波函数为单值函数。6、定态薛定鄂方程若粒子在势场中的势能只是坐标的函数，与时间无关，即Ep=Ep(r)不显含时间，则薛定鄂方程的一个特解可以写为方程左边只与时间有关，而右边是空间坐标的函数。由于空间坐标与时间是相互独

10、立的变量，所以只有当两边都等于同一个常量时，该等式才成立，以E表示该常量，则因而