第二章 薛定格方程.ppt

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1、第二章薛定谔方程(SchrödingerEquation)§2—1薛定谔方程§2－2一维无限深势阱势垒穿透谐振子1自由粒子：对x取二阶偏导数，------（1）对t取一阶偏导，得，------（2）§2—1薛定谔方程(SchrödingerEquation)2以乘以（1）式，以乘式（2），在低速情况下，，则有：称为一维运动自由粒子含时的薛定谔方程。若粒子在势场U（x，t）中运动，此时3于是得到：若粒子在三维空间中运动，则有——在势场中一维运动粒子的含时薛定谔方程。4利用拉普拉斯算符表示由于波函数必须满足单值、连续、有限和归一化条件，只有当方程中的总

2、能量E为某些特定值时才有解。由m和U(x,y,z,t)，+初始条件边界条件求解，5E----能量的本征值；----本征函数（本征解）。若势能U只是坐标的函数时，可将分离变量：代入（*）式，得：上面等式只有两边都等于同一常数时才成立，以E表示该常数，等式右边为6积分后得：等式左边也等于E，即：这就是定态薛定谔方程。7粒子在空间某处出现的概率为：由于与时间无关，称这样的态为定态。Notes:在定态Schrödinger方程中，U、E都不随时间变化。8§2－2一维无限深势阱隧道效应谐振子电子在金属中的运动，质子在原子核中，势能曲线的形状可引入势

3、阱来描述。金属体Ux（a）电子在金属中的势能曲线Ur原子核（b）质子在原子核中的势能曲线9一、一维无限深势阱的势能分布为：U（x）=00

4、化是考虑波函数必须满足的条件而自然得到的，并不是人为的假设。142）粒子的最小能量不等于零0an=1n=2n=3n=4E1E2=4E1E3=9E1E4=16E1EE1----零点能零点能的存在与不确定关系是一致的，并在许多实验中得以证实。3）在无限深中，粒子在各处出现的概率是不同的。当时，量子化连续15n(x)0axn=1n=2n=3n=4n=4n=3n=10ax164）无限深势阱，定态薛定谔方程的解具有驻波形式，即粒子的物质波在阱中形成驻波。[例2]试求在一维无限深势阱中粒子概率密度为最大值的位置。[解]：概率密度为：17当为最大值时，即如:

5、n=1，k=0；最大位置x=a/2n=2，k=0，1；最大位置x=a/4，3a/4n=3，k=0，1，2；最大位置x=a/6，3a/6，5a/6可见，概率密度最大值的数目和量子数n相等。n0，x0，最大值连成一片即概率分布均匀，与经典理论一致。18[例3]试证明氢原子稳定轨道的长度正好等于电子的德布罗意波长的整数倍。[证明]：设电子在量子数为n、半径为rn的稳定轨道上运动，运动速率为vn。由玻尔的量子化条件19电子的德布罗意波长为：则：证毕20二、一维势垒隧道效应1.一维势垒:若有一粒子在下图所示的力场中沿Ｘ方向运动，其势能分布如下：U(x)=

6、U0，0＜ｘ＜ａ０，ｘ＜０　ｘ＞ａ——方势垒。xａＵ0ＵE21各区域所满足的定态薛定谔方程考虑E

7、.03.0×10-10贯穿系数T——透射波强度与入射波强度之比263.隧道效应例子：粒子从放射性核中逸出，即衰变；黑洞内部的物质能通过量子力学隧道效应而逸出；热核反应中2H和3H就是通过隧道效应而聚合到一起的；扫描隧道显微镜。2748个Fe原子形成“量子围栏”，围栏中的电子形成驻波.隧道电流I与样品和针尖间距离S的关系隧道电流是电子波函数重叠程度的量度，通过它可“直接看到”样品表面结构2829三、一维谐振子１．一维谐振子的势函数２．定态薛定谔方程0XU(作用力：F=-dU/dx=-kx)303.波函数其中：Nn——归一化因子Hn(x)——厄米

8、(Hermite)多项式e.g.31３.能量本征值0XUE0E1E2E3可见：①能级分立②En=③Emin=/2