17-4(泰勒公式与极值问题).ppt

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1、第十七章第四节二元函数的泰勒公式一、高阶偏导数二、中值定理与泰勒公式三、极值问题机动目录上页下页返回结束一、高阶偏导数设z=f(x,y)在域D内存在连续的偏导数zzfx(x,y),fy(x,y)xy若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导数:2z2zzz()2fxx(x,y);()fxy(x,y)xxxyxxyz22zzz()fyx(x,y);()2fyy(x,y)xyyxyyy机动目录上页下页返回结束类似可以定义

2、更高阶的偏导数.例如，z=f(x,y)关于x的三阶偏导数为23zz()x23xxz=f(x,y)关于x的n–1阶偏导数,再关于y的一阶偏导数为n1nzz()yn1n1xxy机动目录上页下页返回结束3x2yz例1.求函数ze的二阶偏导数及.2yx解:zx2yzx2ye2exy22zzx2yx2ye2ex2xy22zzx2yx2y2e4e2yxy32zzx2y()2eyx2xyx22zz注意:此处,但这一结论并不总成立.xyy

3、x机动目录上页下页返回结束22xy22xy,xy0f(x,y)22例如,xy220,xy04224x4xyy22y,xy0fx(x,y)(x2y2)2220,xy04224x4xyy22x,xy0f(x,y)222y(xy)220,xy0fx(0,y)fx(0,0)limy1二fxy(0,0)lim者y0yy0y不fy(x,0)fy(0,0)x等fyx(0,0)limlim1x0xx0x机动目录上页下页返回结束定理.若fxy(x,y)和fyx(x,y)都在点

4、(x0,y0)连续,则fxy(x0,y0)fyx(x0,y0)证:令F(x,y)f(x0x,y0y)f(x0x,y0)f(x0,y0y)f(x0,y0)令(x)f(x,y0y)f(x,y0)(y)f(x0x,y)f(x0,y)则F(x,y)(x0x)(x0)(x01x)x(011)[fx(x01x,y0y)fx(x01x,y0)]xfxy(x01x,y02y)xy(01,21)机动目录上页下页返回结束同样F(x,y)

5、f(x0x,y0y)f(x0x,y0)f(x0,y0y)f(x0,y0)(y0y)(y0)fyx(x03x,y04y)xy(03,41)fxy(x01x,y02y)fyx(x03x,y04y)因fx（yx,y）,fy（xx,y）在点(x0，y0)连续,故令x0,y0得fxy(x0,y0)fyx(x0,y0)机动目录上页下页返回结束本定理对n元函数的高阶混合导数也成立.例如,对三元函数u=f(x,y,z),当三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续时,有fxyz(

6、x,y,z)fyzx(x,y,z)fzxy(x,y,z)fxzy(x,y,z)fyxz(x,y,z)fzyx(x,y,z)说明:因为初等函数的偏导数仍为初等函数,而初等函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.证明目录上页下页返回结束复合函数的高阶偏导数1222例2.证明函数u,rxyz满足拉普拉斯r222uuu方程u0222xyzu1r1x证：xr2x2r2rr23xr2u113x23r4xr3r5xr2222u13yu13z利用对称性

7、,有,235235yrrzrr2u2u2u22233(xyz)0x2y2z235rr机动目录上页下页返回结束例3.设wf(xyz,xyz),f具有二阶连续偏导数,2ww求,.w,f1,f2xxz解:令uxyz,vxyz,则uvwf(u,v)xyzxyzwf11f2yzxf1(xyz,xyz)yzf2(xyz,xyz)2wf111f12xyyf2yz[f211f22xy]xz2fy(xz)fx

8、y2zffyff为简便起11见,引入记号12f1,22f12