§2.5　二次函数 2.ppt

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1、山东金榜苑文化传媒集团二次函数步步高大一轮复习讲义1.二次函数的定义与解析式①一般式：__________________.②顶点式：__________________,顶点为______.③零点式：____________________,其中_______是方程ax2+bx+c=0的两根.y=ax2+bx+c(a≠0)y=a(x-m)2+n(a≠0)y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)(m,n)忆一忆知识要点(1)二次函数的定义形如:f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数.(2)

2、二次函数解析式的三种形式x1,x2①对称轴:______②顶点:_________2．二次函数的图象和性质图象函数性质定义域x∈R(个别题目有限制的,由解析式确定)值域a>0a<0奇偶性b＝0时为偶函数，b≠0时既非奇函数也非偶函数单调性a>0a<0图象特点上递减上递增上递增上递减忆一忆知识要点3.二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)与轴两交点的距离当Δ＝b2－4ac>0时，图象与x轴有两个交点M1(x1,0),M2(x2,0)，4.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)在[m,n]上的最值

3、(2)若[m,n],则①当x0n时,f(x)min=f(n),f(x)max=f(m).(1)若∈[m,n],则f(x)min=f(x0)=二次函数的区间最值问题，一般有三种情况：①对称轴、区间都是给定的②对称轴动，区间固定③对称轴定，区间变动④对称轴、区间都动解题思路：抓住“三点一轴”数形结合5、不等式ax2+bx+c>0恒成立问题①.ax2+bx+c>0在R上恒成立.a>0△=b2-4ac<0,a=b=0c>0.或ax2+bx

4、+c<0在R上恒成立.a<0△=b2-4ac<0,a=b=0c<0.或②.f(x)=ax2+bx+c>0(a>0)在[m,n]上恒成立.f(m)>0,-0.->n2ab或f(x)min>0(x∈[m,n])③f(x)=ax2+bx+c<0(a>0)在[m,n]上恒成立.f(n)<0.f(m)<0求二次函数的解析式【例1】已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数．二次函数的解析式有三

5、种形式：(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；(3)两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．已知函数的类型(模型),求其解析式,用待定系数法,根据题设恰当选用二次函数解析式的形式,可使解法简捷．（1）x在区间[0,3]内（2）x在区间[3,5]内例3.函数f(x)=x2-2x＋3在闭区间[t，t+1](t∈R)上的最小值记为g(t).(1)试写出g(t)的函数表达式；(2)作g(t)的图象并写出g(t)的最小值1.函数f(

6、x)=2x2-mx+3，当x∈(-∞,－1]时是减函数，则m的取值范围_______.2.关于x的方程x2+(a2-1)x+(a-2)=0的二根比1大，另一根比1小，则a的范围是.3二次函数f(x)满足f(3+x)=f(3-x)且f(x)=0有两个实根x1,x2，则x1＋x2等于_________.练习二次函数的图象与性质【例2】已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围,使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a＝1

7、时,求f(

8、x

9、)的单调区间．应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.二次函数的图象与性质(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型,解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时,要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解．已知函数f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在区间[0,1]内有一个最大值－5，求a的值．二次函数的综合应用【例3】若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(

10、a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立,求实数m的取值范围．解:(1)由f(0)＝1得，c＝1.∴f(x)＝ax2＋bx＋1.又f(x＋1)－f(x)＝2x，∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，即2ax＋a＋b＝2x，因此，f(x)＝x2－x＋1.(2)f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x