§2.5二次函数与幂函数

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1、预测数据库知识数据库技能数据库§2.5二次函数与幂函数1．二次函数是高中数学的重要内容．历年高考中多以二次函数为载体，考查数形结合及等价转化、函数与方程的思想．2．复习时要重点把握二次函数的性质及应用，尤其是二次函数、二次方程、二次不等式的综合问题，联系图象掌握二次函数的性质、二次函数实根的分布问题及二次函数在指定区间求参数取值范围问题，幂函数基本概念等．3．本节内容在高考中对基础知识的考查多以选择、填空题为主，对知识技能的考查多出现与函数的性质、二次函数方程、不等式相结合的综合性较强的解答题．所以在教学过程中，要重视培养学生

2、的解题能力和效率．4．教学中教师可以适当增加关于二次函数例题的讲解．若不足，可从经典例题备选中补充，对“预测数据库”所列习题中，基础题要求学生全部做完，但其中难度较大的题，不要求所有学生都能完成．§2.5二次函数与幂函数高考问题1：考查二次函数的性质及应用以含参数的二次函数在指定区间上的最值为命题对象，结合二次函数性质对参数进行合理分类讨论是解题关键．高考问题2：用函数研究方程和不等式利用数形结合、化归与转化、函数与方程的方法解决二次函数、二次方程、二次不等式的综合问题，解题关键是用函数研究方程和不等式，多为综合性较强的中档偏

3、难题．高考问题3：二次函数与其他初等函数的综合问题以常见的五种幂函数为命题对象，涉及求值、单调性、奇偶性、最值等问题，一般为选择、填空题中的容易题．1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．②顶点式：若二次函数的顶点坐标为(k，h)，则其解析式为f(x)＝a(x－k)2＋h(a≠0)．③零点式：若二次函数图象与x轴的交点坐标为(x1,0)，(x2,0)，则其解析式为f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋cf(x)＝ax2

4、＋bx＋c图象定义域RR值域[，＋∞)(－∞，]增减性在(－，＋∞)上单调增在(－∞，－)上单调减在(－，＋∞)上单调减在(－∞，－)上单调增奇偶性b＝0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数对称性图象关于直线x＝－成轴对称图形a，b，c的作用a决定图象开口方向，a与b决定对称轴位置，c决定图象与y轴的交点位置，a，b，c决定图象的顶点.1．(2010年·辽宁模拟)若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd，在同一坐标系中的图象如右图，则a、b、c、d的大小关系是()(A)d＞c＞b＞a.(B)a＞b＞c＞d.(C)d＞c

5、＞a＞b.(D)a＞b＞d＞c.【解析】　令x＝2，显然有2a＞2b＞2c＞2d，即a＞b＞c＞d，选B.【答案】B2．(2010年·通州模拟)若函数f(x)＝x2＋ax(a∈R)，则下列结论正确的是()(A)∃a∈R，f(x)是偶函数．(B)∃a∈R，f(x)是奇函数．(C)∀a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(D)∀a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是减函数．【解析】　当a＝0时，f(x)＝x2为偶函数，在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数；3．(2010年·吉林市普通中学模拟)当x∈(0，＋∞)时，幂

6、函数y＝(m2－m－1)x－m＋1为减函数，则实数m＝________.4．(2010年·南京模拟)已知函数f(x)＝x2－2x，x∈[a，b]的值域为[－1,3]，则b－a的取值范围是________．【解析】　由f(x)＝(x－1)2－1≥－1，知1∈[a，b]，令x2－2x＝3，则x＝3，－1，所以－1≤a≤1,1≤b≤3，故2≤b－a≤4.【答案】[2,4]例1试求二次函数f(x)＝x2＋2ax＋3在区间[1,2]上的最小值．【指点迷津】　二次函数图象的对称轴为x＝－a，要求函数在区间[1,2]上的最小值就需要看对称轴

7、与[1,2]的位置关系，为此需结合二次函数的图象对a进行分类讨论．【解析】f(x)＝x2＋2ax＋3＝(x＋a)2＋3－a2，当－a＞2，即a＜－2时，函数在区间[1,2]上为减函数，故此时最小值为f(2)＝4a＋7；当1≤－a≤2，即－2≤a≤－1时，函数的最小值为f(-a)＝-a2＋3；当－a＜1，即a＞－1时，函数在区间[1,2]上为增函数，故此时最小值为f(1)＝2a＋4.综上：当a＜－2时，最小值为4a＋7；当－2≤a≤－1时，最小值为－a2＋3；当a＞－1时，最小值为2a＋4.【点评】求二次函数的值域或最值，常用方

8、法是配方法.二次函数在给定闭区间上的最值在顶点或区间端点处取得，如果解析式中含参数，需要对参数进行分类讨论，根据对称轴与给定区间的位置关系，结合二次函数的图象利用二次函数的单调性处理.例2已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)＞－2x的解集为{x

9、1＜x＜3}