流体力学(第四章 流体动力学基本定理及其应用B).ppt

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1、第四章流体动力学基本定理及其应用第二节理想流体的（欧拉）运动微分方程在流动的理想流体中，取出一个微元平行六面体的微团，它的各边长度分别为dx、dy和dz，如图4-1所示。由于是理想流体，没有黏性，运动时不产生内摩擦力，所以作用在流体微团上的外力只有质量力和压强。该压强与静压强一样，垂直向内，作用在流体微团的表面上。假设六面体形心的坐标为x、y、z，压强为p。先分析x方向的运动，在垂直于x轴的左右两个平面中心点上的压强各等于图4-1推导欧拉运动微分方程用图由于是微元面积，所以这些压强可以作为各表面上的平均压强。设在六

2、面体形心上的单位质量的质量力分量为fx、fy和fz，则作用在微元平行六面体的流体微团上的质量力在轴方向的分量为fxρdxdydz又流体微团的加速度在x轴上的投影为，则根据牛顿第二定律得x轴方向的运动微分方程将上式各项除以流体微团的流体质量ρdxdydz，化简后得：同理(4-1)这就是理想流体的运动微分方程，早在1755年就为。对于静止的流体u=v=w=0，则由式（4-1）可以直接得出流体平衡微分方程，即欧拉平衡微分方程式。因此欧拉平衡微分方程只是欧拉运动微分方程的一个特例。如果把加速度写成展开式，可将欧拉运动微分方

3、程写成如下形式(4-2)在一般情况下，作用在流体上的质量力fx、fy和fz是已知的，对理想不可压缩流体其密度ρ为一常数。在这种情况下，式（3-35）中有四个未知数u、v、w和p，而式（4-2）中有三个方程，再加上不可压缩流体的连续性方程，就从理论上提供了求解这四个未知数的可能性。第三节理想流体微元流束的伯努利方程一、理想流体微元流束的伯努利方程理想流体的运动微分方程（4-2）只有在少数特殊情况下才能求解。在下列几个假定条件下：(1)不可压缩理想流体的定常流动；(2)沿同一微元流束（也就是沿流线）积分；(3)质量力只

4、有重力。即可求得理想流体微元流束的伯努利方程。假定流体是定常流动，则有因此式(4-2)可写成(4-3)假如流体微团沿流线的微小位移ds在三个坐标轴上的投影为dx、dy和dz。现用dx、dy和dz分别乘以式（4-3）的第一式、第二式和第三式，则可得到(4-4)由流线微分方程,有udy=vdxydz=wdy(4-5)wdx=udz将式（4-5）代入式（4-4）中的对应项，则得(4-6)将式（3-39）的三个方程相加，得到(4-7)由于式（4-7）中的dx、dy和dz是流体微团沿流线微小位移ds的三个分量，所以要沿流线（

5、或微元流束）进行积分。式（3-40)中的假设质量力只有重力，fx=0，fy=0，fz=-g，即z轴垂直向上，oxy为水平面。则式(4-7)可写成又假设为不可压缩均质流体，即ρ=常数，积分后得或(4-8)式（4-8）称为理想流体微元流束的伯努利方程。方程右边的常数对不同的流线有不同的值。该方程的适用范围是：理想不可压缩均质流体在重力作用下作定常流动，并沿同一流线（或微元流束）。若1、2为同一条流线（或微元流束）上的任意两点，则式（4-8）也可写成(4-9)在特殊情况下，绝对静止流体V=0，由式(4-8)可以得到静力学

6、基本方程二、方程的物理意义和几何意义为了进一步理解理想流体微元流束的伯努利方程，现来叙述该方程的物理意义和几何意义。1、物理意义理想流体微元流束的伯努利方程式（4-8）中，左端前两项的物理意义，在静力学中已有阐述，即第一项z表示单位重量流体所具有的位势能；第二项p/(ρg)表示单位重量流体的压强势能；第三项V2/(2g)理解如下：由物理学可知，质量为m的物体以速度V运动时，所具有的动能为mv2/2，则单位重量流体所具有的动能为v2/(2g),即(mv2/2)/(mg)=v2/(2g)。所以该项的物理意义为单位重量流

7、体具有的动能。位势能、压强势能和动能之和称为机械能。因此，伯努利方程可叙述为：理想不可压缩流体在重力作用下作定常流动时，沿同一流线（或微元流束）上各点的单位重量流体所具有的位势能、压强势能和动能之和保持不变，即机械能是一常数，但位势能、压强势能和动能三种能量之间可以相互转换。所以伯努利方程是能量守恒定律在流体力学中的一种特殊表现形式。2、几何意义理想流体微元流束的伯努利方程式（4-8）中，左端前两项的几何意义，同样在静力学中已有阐述，即第一项z表示单位重量流体的位置水头，第二项p/(ρg)表示单位重量流体的压强水头

8、，第三项v2/(2g)与前两项一样也具有长度的量纲。它表示所研究流体由于具有速度v，在无阻力的情况下，单位重量流体所能垂直上升的最大高度，称之为速度水头。位置水头、压强水头和速度水头之和称为总水头。由于它们都表示某一高度，所以可用几何图形表示它们之间的关系，如图4-2所示。图4-2总水头线和静水头线因此伯努利方程也可叙述为：理想不可压缩流体在重力作用下作定常