矩阵论知识要点.ppt

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1、矩阵论是一门经典的数学学科，也是一门繁琐的、但有广泛应用价值的数学课程。矩阵理论和方法是现代科技领域中处理有限维空间形式与数量关系的强有力的不可缺少的工具。尤其是计算机的普及，更为矩阵论的应用提供了广阔的应用舞台，如系统工程、控制工程、最优化方法、管理工程等。序言问题一线性方程组的求解给定一个m个方程n个变量的线性方程组记A表示系数矩阵，B表示常数向量，X表示未知向量，则线性方程组可表示为其中解的形式：（1）当m=n，且A可逆时，线性方程组AX=B的解可表示为当m=n，且A不可逆时，或者当时，线性方程组的解又如何表示呢？特别地，在讨

2、论矛盾方程AX=B时，如何定义线性方程组的解。广义逆矩阵问题问题二矩阵的算术运算矩阵的加法与减法定义为矩阵的乘法运算如何定义矩阵的除法运算在线性代数中，我们对于可逆矩阵A可定义矩阵“除法”，称为矩阵A的逆矩阵，记为A-1即当矩阵A的秩等于其行数和列数时，矩阵A称为满秩矩阵，才能定义“矩阵除”，并由此得到矩阵方程AX=B的解为X=A-1B问题：我们能否定义一般矩阵的“除法”。问题三矩阵的分析运算在线性代数中，我们学习的多是矩阵的代数运算，能否定义矩阵的分析运算呢？如矩阵序列的极限、矩阵级数的和、矩阵函数及其微积分等。分析运算的关键是确

3、定矩阵大小的一种度量，称为矩阵范数。问题四矩阵的简单形式矩阵运算常常要求矩阵在各种意义下的简单形式，以简化矩阵运算过程。这就要求讨论矩阵的标准形和矩阵分解问题。常见形式有：Jordan标准形、行最简标准形、Hermite标准形；矩阵的UR（酉矩阵U与正线上三角矩阵R）分解、QR（正交矩阵Q与三角矩阵R）分解、谱分解、满秩分解、奇异值分解等。课程教学主要内容一线性代数的有关知识二线性空间与线性变换三内积空间四范数理论五矩阵分析六矩阵分解七广义逆矩阵八Kronecker积主要参考书矩阵论　　中国矿业大学出版社　程林凤等矩阵论　　清华大学

4、出版社　　　方保熔等矩阵理论与代数基础　电子科技出版社　李正良矩阵论　　西北工业大学出版社　　程云鹏学习本课程所需掌握的基础知识：线性代数有关知识与微积分初步课程教学要求理解矩阵论的基本概念掌握矩阵论的基本计算方法思考、回答两个问题:1、矩阵的数值特征及它们的应用2、矩阵的初等变换及应用3.一些特殊的矩阵1)设A为m×n阶矩阵,把它的行换成同序号的列得到的新矩阵,叫做A的转置矩阵,记作A或AT矩阵的转置也是一种运算,若运算可行,则有(AT)T=A;(A+B)T=AT+BT;(A)T=AT;(AB)T=BTAT.附录知识要点2)

5、、共轭转置矩阵当A=(aij)为复矩阵时,用表示aij的共轭复数,记称为A的共轭转置矩阵.共轭转置矩阵有以下运算规律(设A,B为复矩阵,为复数,且运算都是可行的):3)设，如果，则称是Hermite矩阵，如果，则称是反Hermite矩阵。，如果，则称是（实）对称矩阵，如果，则称是（实）反对称矩阵。设4)设A为n阶方阵,若满足A2=A,则称A为幂等矩阵.若满足A2=E,则称A为对合矩阵.若满足AAT=ATA=E,则称A为正交矩阵.4)行列式

6、A

7、的各元素的代数余子式Aij所构成的方阵叫做方阵A的伴随矩阵.伴随矩阵具有重要性质:AA*

8、=A*A=

9、A

10、E.1.任何两个矩阵A、B都能进行加(减),相乘运算吗?思考答不是.(1)只有当A,B为同型矩阵时,才能进行加(减)运算.(2)只有当第一个矩阵A的列数与第二个矩阵B的行数相同时,A与B才能相乘,这时AB才存在.3.两个矩阵A、B相乘时,AB=BA吗?

11、AB

12、=

13、BA

14、?答AB不一定等于BA.若要AB=BA,首先要使AB和BA都存在,此时A、Ｂ应为同阶方阵.其次矩阵的乘法不满足交换律.在一般情况下,ABBA.但对同阶方阵A、B,

15、AB

16、=

17、BA

18、是一定成立的.因为对于数的运算,交换律是成立的,即

19、AB

20、=

21、A

22、

23、B

24、

25、=

26、B

27、

28、A

29、=

30、BA

31、.4.若AB=AC能推出B=C吗?则AB=AC,但BC.答不能.因为矩阵的乘法不满足消去律.例如5.非零矩阵相乘时,结果一定不是零矩阵吗?但又如但答非零矩阵相乘的结果可能是零矩阵.例如6.设A与B为n阶方阵,问等式A2-B2=(A+B)(A-B)成立的充要条件是什么？答A2-B2=(A+B)(A-B)成立的充要条件是AB=BA.事实上，由于(A+B)(A-B)=A2+BA-AB-B2,故A2-B2=(A+B)(A-B)当且仅当BA-AB=0，即AB=BA.4.逆阵的概念1)设A为n阶方阵,如果存在矩阵B,

32、使AB=BA=E,则称矩阵A是可逆的(或非奇异的、非退化的、满秩的），且矩阵B称为A的逆矩阵.若有逆矩阵,则A的逆矩阵是唯一的,记作A-1.2)相关定理及性质(i)方阵A可逆的充分必要条件是:

33、A

34、0.(ii)若矩阵A可逆,则A-1