矩阵论补充知识课件.ppt

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1、矩阵论补充知识1、由个数有次序地排列成m行n列的表叫矩阵通常用一个大写字母表示，如：一、矩阵的定义及其某些特殊矩阵2、若m=n，即行数与列数相同，称A为方阵。元素a11、a22……ann称为对角元素。3、若一个矩阵的元素全为0，称零矩阵，一般用O表示。4、对于的方阵，除对角元素外，其它元素全为零，称为对角矩阵。如：6、若aij=aji，则称A为对称矩阵。5、对于对角阵，若a11=a22=……=ann=1，称为单位阵，一般用E、I表示。二、矩阵的基本运算：1、若具有相同行列数的两矩阵各对应元素相同，则：2、具有相同行列数的两矩阵A、B相加减，其行列数与A、B相同，其元素等于A、B对应

2、元素之和、差。且具有可交换性与可结合性。3、设A为m×s的矩阵，B为s×n的矩阵,则A、B相乘才有意义，C=AB，C的阶数为m×n。OA=AO=O，IA=AI=A，A（B+C）=AB+AC，ABC=A（BC）三、矩阵的转置对于任意矩阵Cmn：将其行列互换，得到一个n×m阶矩阵，称为C的转置。表示为：1、定义2、矩阵转置的性质：四、矩阵的逆A矩阵存在逆矩阵的充分必要条件是A的行列式不等于0，称A为非奇异矩阵，否则为奇异矩阵给定一个n阶方阵A，若存在一个同阶方阵B，使AB=BA=I称B为A的逆矩阵。记为：1、定义2、矩阵的逆的性质3、矩阵求逆方法：（1）伴随矩阵法：设Aij为A的第i行

3、j列元素aij的代数余子式，则由n×n个代数余子式构成的矩阵为A的伴随矩阵的转置矩阵A*称为A的伴随矩阵。算例：则：（2）初等变换法：经初等变换：定义1在m×n矩阵A中任取k行、k列（k≤m,k≤n），位于这些行列交叉处的k×k个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得到的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式。m×n矩阵A的k阶子式共有CmkCnk个。定义2设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有r+1阶子式（如果有的话）全等于0，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R(A)=r。规定零矩阵的秩等于0。五、矩阵的秩若有：则称A为满秩矩阵。或3、对于任何m×n

4、矩阵A，都有唯一确定的秩，且R（A）≤min(m,n)；4、若矩阵A中有一个r1阶子式不为零，则R（A）≥r1；若矩阵A的所有r1＋1阶子式全等于零，则R（A）≤r1。2、A的转置矩阵AT的秩R(AT)=R(A)；由定义可知:1、矩阵A的秩R(A)就是A中不等于0的子式的最高阶数；5、对于n阶可逆矩阵A，有

5、A

6、≠0<=>R(A)=n<=>A的标准形为n阶单位阵I可逆阵又称为满秩矩阵。奇异阵又称为降秩矩阵。例1求矩阵A和B的秩，其中解在A中，容易看出左上角一个2阶子式A的3阶子式只有一个

7、A

8、，经计算可知

9、A

10、=0，因此R（A）=2。B是一个阶梯形矩阵，其非零行有3行，即知B的所有

11、4阶子式全为零，而3阶子式因此R（B）=3。从本例可知，由矩阵A的秩的定义求秩，关键在于找A中不等于0的子式的最高阶数。一般当行数与列数都较高时，按定义求秩是很麻烦的。对于行阶梯形矩阵，显然它的秩就等于非零行的行数。因此自然想到用初等变换把矩阵化为行阶梯形矩阵，但两个等价的矩阵的秩是否相等呢？上页下页返回经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有限次初等行变换矩阵的秩也不变。上页下页返回定理1若A～B，则R（A）=R（B）。定理1说明：矩阵经初等变换后其秩不变，因而把矩阵用初等变换化为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数即为所求矩阵的秩。这是求矩阵秩的一种常用方法。证明:略注1注

12、2求矩阵的秩。解可见R（B）=2，所以R（A）=2。例2上页下页返回例3求矩阵A的秩，并求A的一个最高阶非零子式。解先求A的秩，为此对A作初等行变换变成行阶梯形矩阵：上页下页返回上页下页返回上页下页返回易见R（B）=R（A）=3。上页下页返回六、二次型设Q为正定对称矩阵，则下式称为二次型：二次型有如下性质：矩阵分析运算知识补充一、矩阵对变量的导数设有矩阵即Y中的元素均为变量x的函数，定义：矩阵分析运算知识补充一、矩阵对变量的导数性质推论：1、若矩阵N与变量x无关，则：2、若则：矩阵分析运算知识补充一、矩阵对变量的导数性质推论：则：3、若矩阵N为常数矩阵，且：4、若则：矩阵分析运算知

13、识补充一、矩阵对变量的导数则：特别地，若：矩阵分析运算知识补充二、列向量对列向量的导数设有两个列向量，若：其中yi是向量X的函数，即有：记为：矩阵分析运算知识补充二、列向量对列向量的导数定义为：列向量Y对列向量X的导数记为：或矩阵分析运算知识补充二、列向量对列向量的导数性质推论：1、若为常数向量，则：2、若：则：或矩阵分析运算知识补充二、列向量对列向量的导数性质推论：3、若，为常数矩阵，则：或4、若：则：矩阵分析运算知识补充二、列向量对列向量的导数性质推论：5、设有二