矩阵知识要点课件.ppt

《矩阵知识要点课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第11章矩阵上一章讨论的线性方程组，未知数的个数与方程的个数相等，且系数行列式不等于零。但是再实际应用中，还会出现未知数的个数与方程个数不相等的方程组。为了讨论一般的线性方程组，我们引入一个数学工具—矩阵。本章将介绍矩阵的基本概念及运算。知识点矩阵概念矩阵运算几类特殊矩阵矩阵的与矩阵的秩逆矩阵的求法难点矩阵的秩矩阵的初等变换要求熟练掌握矩阵的运算求矩阵的秩逆矩阵的求法了解几类特殊矩阵矩阵的定义分块矩阵11.1矩阵的概念11.1.1矩阵的定义定义由个数排成的矩形数表叫做一个m行n列的矩阵，简称矩阵。1

2、1.1.2几种特殊的矩阵只有一行的矩阵称为行矩阵或行阵，即只有一列的矩阵称为列矩阵或列阵，即如果矩阵的行数与列数都等于n，则称A为n阶矩阵或n阶方阵。在n阶方阵A中，如果主对角线左下方的元素全为零，即则此矩阵称为上三角矩阵。如果n阶方阵A的主对角线右上方的元素全为零，即则此矩阵称为下三角形矩阵。如果n阶方阵A的主对角线以外的元素都为零，即则此矩阵称为对角线方阵。在n阶对角方阵中，当时，则称为n阶单位矩阵，记作E，即11.1.3分块矩阵在矩阵的讨论和运算中有时需要将一个矩阵分成若干个“子块”（子矩阵）

3、，使原矩阵结果更加简单。例如如果设则＝11.2矩阵的运算定义1如果两个m×n矩阵A、B的对应元素相等，即，则矩阵A与B相等。记作或11.2.1矩阵的加减运算定义2设两个m行n列的矩阵它们对应位置元素相加（或相减）得到的m行n列矩阵，为矩阵A与矩阵B的和（或差），记作，即即注意只有在两个矩阵的行数和列数分别都相同时才能作加法或减法的运算。由定义，不难验证矩阵的加法具有以下性质：1）A+B=B+A2）（A+B）+C=A+（B＋C）3）A＋0＝A其中A、B、C、0都是m×n矩阵。11.2.2数与矩阵的乘法

4、定义3设k为任意数，以数k乘矩阵A的每一个元素所得到的矩阵叫做k与A的积，记为kA（或Ak）即容易验证k（A＋B）＝kA+kB，（k＋h）A＝kA+hA，（kh）A＝k（hA）其中A、B为m×n矩阵，K、h为任意实数。例已知且求。解11.2.3矩阵的乘法矩阵的加法及数与矩阵的乘法表示事物之间的一种数量关系，矩阵的乘法也是一样。定义设矩阵的列数与矩阵的行数相同，则由元素构成的m行n列矩阵=称为矩阵A与B的积，记作（或C＝AB）（即表示用A的第行元素依次乘B的第j列相应元素然后相加）。注意两个矩阵A,B

5、只有当矩阵A的列数等于矩阵B得行数时，AB才有意义。为此常用下法来记：例设求AB及BA。解矩阵乘法得性质设下列矩阵都可以进行有关运算1）(AB)C=A(BC)2）(A+B)C=AC+BC3）C(A+B)=CA+CB4）K(AB)=(KA)B=A(KB)11.2.4矩阵的转置定义把m×n矩阵A的行与列互换，得到一个n×m矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记为AT。即如果则例如则转置矩阵具有下列性质：1）(AT)T=A2）(A+B)T=AT+BT3）4）(AB)T=BTAT例设求解如果n阶方阵A与它的转置矩阵

6、相等，A称为对称矩阵。11.2.5方阵的行列式定义如果A是一个已知方阵，以A的元素按原来次序所构成的行列式，叫做A的行列式，记作定理设A，B是两个n阶方阵，则即A，B两个n阶方阵的乘积的行列式等于这两个方阵所对应的行列式之积。11.3矩阵的初等变换11.3.1定义定义对矩阵施以下列3种变换，称为矩阵的初等变换：1）交换矩阵的两行（列）。2）以一个非零的数k乘以矩阵的某一行（列）。3）把矩阵的一行（列）的L倍加于另一行（列）上。11.3.2初等矩阵对单位矩阵I施以一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。1

7、1.4矩阵的秩11.4.1我们先回忆一下阶梯形矩阵若在矩阵各行中位于第一个非零元素前面的零的个数逐行增加，且矩阵的零行在最下方，则称此矩阵为阶梯形矩阵。定理任意一个矩阵经过若干次初等行变换均可以化称阶梯形矩阵。例如，设则可化A为阶梯形矩阵：此为阶梯形矩阵。11.4.2矩阵的秩的概念定义矩阵A的阶梯形矩阵非零行的行数称为矩阵A的秩。记作秩（A）或r（A）。例如：若则r（A）＝2；若则r（B）＝2。例设矩阵求r（A）。解先用矩阵的初等行变换化A为阶梯形矩阵，即因为所以r（A）＝3一个矩阵的阶梯形矩阵有多

8、少个，但其秩是唯一的，即有以下定理：定理矩阵经初等变换后，其秩不变。11.4.3满秩矩阵设A是n阶矩阵，若秩（A）＝n，则称A为满秩矩阵，或称非奇异的，或非退化的。定理任何满秩矩阵都能经过初等行变换化成单位矩阵。例设矩阵判断A是否为满秩矩阵，若是将A化成单位矩阵。解这样，即判明了A为满秩矩阵，也将A划成了单位矩阵。11.5逆矩阵11.5.1逆矩阵的概念定义对于n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵B使得AB=BA=In,那么A则称为可逆矩阵，B称为A的逆矩阵。A的逆矩阵用A－1