数学培优竞赛新方法(九年级)-第1讲 追问求根公式.doc

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1、第一讲追问求根公式正确的看法是，数学不仅拥有真，而且拥有非凡的美-----一种像雕塑那样冷峻而朴素的没，一种无须我们柔弱的天性感知的美，一种不具有绘画和音乐那样富丽堂皇的装饰的美，然而又是极其纯净的美，是唯有最伟大的艺术才具有的严格的完美。知识纵横形如（）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。求根公式内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数

2、学的简洁美。降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决。解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。例题求解【例1】（1）方程的解为。（2011年广东中考题）（2）设是整数，方程的一根是，则的值是。（四川省竞赛题）思路点拨：对于（1），由知原方程必有一根为-1，即有因式，故可用因式分解法解；对于（2），，把代入原方程，建立关系式。【例2】已知，那么（）。A、3

3、B、5C、D、（“五羊杯”邀请赛试题）思路点拨：求出a的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如6等。【例3】设方程求满足该方程的所有根之和。（重庆市竞赛题）思路点拨：通过讨论，脱去绝对值符号（有时也用到绝对值性质，如），把绝对值方程转化为一般的一元方程求解【例4】如图，已知点是直线与双曲线的交点，△AOB的面积为，求直线AB的解析式。（十堰市中考题）思路点拨：设直线AB解析式为则，解题的关键是由S△AOB建立关于a的一元二次方程。【例5】已知a是正整数，如果关于x的方程的根都是整数，

4、求a的值及方程的整数根。（全国初中数学联赛）6【例6】已知三个不同的实数满足，方程有一个相同的实根，方程也有一个相同的实根．求的值．（2011年全国初中数学竞赛题）学力训练基础夯实1、若是方程的解，则。（荆州市中考题）2、方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为。（青岛市中考题）3、关于的方程的解是，则方程的解是。（2011年兰州市中考题）4、若使分式的值为0，则的取值为（）。A、1或-1B、-3或1C、-3D、-3或-1（芜湖市中考题）5、若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为（）6A、1B、2C、

5、1或2D、0（山东省中考题）6、（2005•浙江）根据下列表格的对应值：x3.233.243.253.26ax2+bx+c-0.06-0.020.030.09判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）一个解的范围是（　　）A、B、C、D、（浙江省中考题）7、先化简，再求值：，其中满足。（2011年重庆市中考题）8、已知、为方程的两实根，求代数式的值。（芜湖市中考题）9、是否存在某个实数，使得方程有且只有一个公共的实根？如果存在，求这个实数及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由。6能力拓展7、设方程的较

6、大根为，方程的较小根为，则的值为。8、已知、是方程的两个根，、是方程的两个根，则（山东省竞赛题）9、设方程的两根为、，则方程的两根为。（2011年四川省竞赛题）10、已知、是方程的两个实数根，则的值为（）。A、-1B、1C、D、（太原市竞赛题）11、已知三个关于的一元二次方程恰有一个公共实数根，则的值为（）A、0B、1C、2D、3（全国初中数学竞赛题）12、方程的解的个数为（）A、1个B、2个C、3个D、4个（2011全国初中数学联赛题）13、已知方程的两根也是方程的根，求的值。（全国初中数学联赛题）17、已知：如图，

7、△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：6（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？（2）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与t的关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出相应的t值；不存在，说明理由；（3）设PQ的长为x（cm），试确定y与x之间的关系式．（青岛市中考题）18、设是方程的根，求的值（太原

8、市竞赛题）19、若关于的方程的各根为整数，求的值并解此方程。（江西省竞赛题）20、如图，锐角△ABC中，PQRS是△ABC的内接矩形，且S△ABC=S矩形PQRS，其中为不小于3的自然数．求证：为无理数。（上海市竞赛题）6