新课标九年级数学竞赛辅导讲座 第一讲 走进追问求根公式

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1、第一讲走进追问求根公式形如（）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法．而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法．求根公式内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美．降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决．解题时常用到

2、变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法．【例题求解】【例1】满足的整数n有个．思路点拨从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程．【例2】设、是二次方程的两个根，那么的值等于（）A．一4B．8C．6D．0思路点拨求出、的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如，．【例3】解关于的方程．思路点拨因不知晓原方程的类型，故需分及两种情况讨论．【例4】设方程，求满足该方程的所有根之和．思路点拨通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解．【例5】

3、已知实数、、、互不相等，且，试求的值．思路点拨运用连等式，通过迭代把、、用的代数式表示，由解方程求得的值．注：一元二次方程常见的变形形式有：(1)把方程（）直接作零值多项式代换；(2)把方程（）变形为，代换后降次；(3)把方程（）变形为或，代换后使之转化关系或整体地消去．解合字母系数方程时，在未指明方程类型时，应分及两种情况讨论；解绝对值方程需脱去绝对值符号，并用到绝对值一些性质，如．学历训练1．已知、是实数，且，那么关于的方程的根为．2．已知，那么代数式的值是．3．若，，则的值为．4．若两个方程和只有一个

4、公共根，则()A．B．C．D．5．当分式有意义时，的取值范围是()A．B．C．D．且6．方程的实根的个数是()A．0B．1C．2D．37．解下列关于的方程：(1)；(2)；(3)．8．已知，求代数式的值．9．是否存在某个实数m，使得方程和有且只有一个公共的实根?如果存在，求出这个实数m及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由．注：解公共根问题的基本策略是：当方程的根有简单形式表示时，利用公共根相等求解，当方程的根不便于求出时，可设出公共根，设而不求，通过消去二次项寻找解题突破口．10．若，则＝．11．已知

5、、是有理数，方程有一个根是，则的值为．12．已知是方程的一个正根。则代数式的值为．13．对于方程，如果方程实根的个数恰为3个，则m值等于()A．1n．2C．D．2．514．自然数满足，这样的的个数是()A．2B．1C．3D．415．已知、都是负实数，且，那么的值是()A．B．C．D．16．已知，求的值．17．已知m、n是一元二次方程的两个根，求的值．18．在一个面积为l的正方形中构造一个如下的小正方形：将正方形的各边等分，然后将每个顶点和它相对顶点最近的分点连结起来，如图所示，若小正方形面积为，求的值．19

6、．已知方程的两根、也是方程的根，求、的值．20．如图，锐角△ABC中，PQRS是△ABC的内接矩形，且S△ABC=S矩形PQRS，其中为不小于3的自然数．求证：需为无理数．参考答案