初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第1讲走进追问求根公式

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1、第一讲走进追问求根公式形如“2十加+c=o(。工0)的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基木方法。而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。求根公式xl2=~h±yJl)~~4ac内涵丰富：它包含了初小阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元2a二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基木问题；它展示了数学的简洁美。降次转化是解方程的基本思想，冇些条件中含冇(或口J转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从

2、佃使问题易于解决。解题时常用到变形降次、整体代入、

3、构造零值多项式等技巧与方法。【例题求解】【例1】满足(n2-,i-l)M+2=l的整数11有个。思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程。【例2】设习、七是二次方程F十—3=0的两个根，那么小3_4勺2十19的值等于()A、—4B、8C、6D、0思路点拨：求出习、乃的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如“2=3-X],x22=3-x2°【例3)解关于x的方程(a-)x2-2ax+a=0o思路点拨：因不知晓原方程的类型，故需分。-1=0及a-1工0两种悄况讨论。【例4】设方程x2-

4、2x-1

5、-4=0,求满足该方程的所有根之和。思路

6、点拨：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解。【例5]已知实数°、b、c、d互不相等，一!1.°+丄=/?+丄=c+—=d+—=x,试求x的值。hcda思路点拨：运用连等式，通过迭代把b、c、d用a的代数式表示，由解方程求得天的值。注：一元二次方程常见的变形形式冇：(1)把方程ax2+bx+c=0(心0)直接作零值多项式代换;(2)把方程ax2+bx+c=0(aHO)变形为ax2=-bx-c,代换后降次;(3)把方程ax2+bx+c=O(a工0)变形为ax2+bx=-c或ax?+c=-bx,代换后使Z转化关系或整体地消去兀。解合字母系数方程血2+/x+c=0时

7、，在未指明方程类型时，应分＜/=0及OH0两种情况讨论；解绝对值方程需脱去绝对值符号，并用到绝对值一些性质，如H2=x2=x2o走进追问求根公式学历训练1、已知a、b是实数，Ry/2a+6+b-/l=0,那么关于x的方程(a+2)x2-^-b2x=a-l的根为。3?2、己知x2-3x-2=0,那么代数式U的值是兀一13、若F+xy+y=14,y2+xy+x=28,则x+y的值为4、若两个方程x2+ax+b=0和x2+bx+a=0只有一个公共根，贝U()A、a=ba+b=0C^a+b=D、a+b=-5、当分式——有意义时，x的取值范围是()-X+3尤+4A、x<-B、x>4C、-1<

8、x<4D、乳工一1J_Lxh46、方程(x+l)

9、x+l

10、-4v

11、+l=0的实根的个数是()A、0B、1C、2D、37、解下列关于x的方程：(1)(加一1)*2+(2〃？一1)兀+加一3=0；(2)x2-

12、x

13、-l=0:(3)

14、x2+4x-5=6-2xo8、已知兀2-2—2=0,求代数式(x-I)2+(x+3)(x-3)+(x-3)(x-l)的值。9、是否存在某个实数m,使得方程F+呛+2=0和F+2x+〃心0有且只有一个公共的实根?如杲存在,求出这个实数m及两方程的公共实根：如果不存在，请说明理由。注：解公共根问题的基木策略是:当方程的根冇简单形式表示时，利用公共根相等求解，当方程的根

15、不便于求出时，可设出公共根，设而不求，通过消去二次项寻找解题突破口。10>若x2-5x+l=0,则2x2-9x+3+———=。x2+l11已知〃7、n是有理数，方程x2+mx+n=0有一，个根是-2,则m+n的值为12、己知a是方程H-X-2000=0的一个正根。则代数式3+2000的值为13^对于方程x2-2.V+2=加，如杲方程实根的个数恰为3个，则m值等于(A、1B、2C、忑D、2.514、自然数和满足(/22-2n-2),,2+47=(n2-2h-2)16z,-16,这样的八的个数是()A、2B、1C、3D、415、已知°、b都是负实数，且丄+丄——]—,那么匕的值是()aba-

16、b=OaA、血B、虫C、D、222216、已知x=J19-8VJ,求张卜23的值。x2-8x+1517、已知m、n是一元二次方程x2+2001x+7=0的两个根,求(m2+2000am+6)(/n2+2002n+8)的值。18、在一个而积为1的正方形小构造一个如下的小正方形：将正方形的各边n等分，然后将每个顶点和它相对顶点最近的分点连结起来，如图所示，若小正方形面积为血，求”的值。19、已知方程x2-3x+l=0的两根q*p也是方程