数学初中数学竞赛辅导讲义及习题解答30份初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第11讲 双曲线.doc

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1、第十一讲双曲线形如()的函数叫做反比例函数，它的图象是由两条曲线组成的双曲线，与双曲线相关的知识有：1．双曲线解析式中的系数决定图象的大致位置及随变化的状况．2．双曲线图象上的点是关于原点O成中心对称，在>0时函数的图象关于直线轴对称；在<0时函数的图象关于直线轴对称．3．自变量的取值是不等于零的全体实数，双曲线向坐标轴无限延伸但不能接近坐标轴．【例题求解】【例1】已知反比例函数的图象与直线和过同一点，则当时，这个反比例函数的函数值随的增大而(填增大或减小)．思路点拨确定的值，只需求出双曲线上一点的坐标即可．注：(1)解与反比函数相关问题时

2、，充分考虑它的对称性(关于原点O中心称，关于轴对称)，这样既能从整上思考问题，又能提高思维的周密性．(2)一个常用命题：如图，设点A是反比例函数()的图象上一点，过A作AB⊥轴于B，过A作AC⊥轴于C，则①S△AOB=；②S矩形OBAC=．【例2】如图，正比例函数()与反比例函数的图象相交于A、C两点，过A作AB⊥轴于B，连结BC，若S△ABC的面积为S，则()A．S=1B．S=2C．S=D．S=思路点拨运用双曲线的对称性，导出S△AOB与S△OBC的关系．【例3】如图，已知一次函数和反比例函数()的图象在第一象限内有两个不同的公共点A、B

3、．(1)求实数的取值范围；(2)若△AOB面积S＝24，求的值．(2003年荆门市中考题)思路点拨(1)两图象有两个不同的公共点，即联立方程组有两组不同实数解；(2)S△AOB=S△COBS-S△COA，建立的方程．【例4】如图，直线分别交、轴于点A、C，P是该直线上在第一象限内的一点，PB⊥轴于B，S△ABP=9．(1)求点P的坐标；(2)设点R与点P在同一个反比例函数的图象上，且点R在直线PB的右侧，作PT⊥轴于F，当△BRT与△AOC相似时，求点R的坐标．思路点拨(1)从已知的面积等式出发，列方程求P点坐标；(2)以三角形相似为条件，

4、结合线段长与坐标的关系求R坐标，但要注意分类讨论．【例5】如图，正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A在轴上，点C在轴上，点B在函数(，)的图象上，点P(，)是函数(，)的图象上的任意一点，过点P分别作轴、轴的垂线，垂足分别为E、F，并设矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面积为S．(1)求B点坐标和的值；(2)当时，求点P的坐标；(3)写出S关于m的函数关系式．思路点拨把矩形面积用坐标表示，A、B坐标可求，S矩形OAGF可用含的代数式表示，解题的关键是双曲线关于对称，符合题设条件的P点不惟一，故思考须周密．注：求两个函数图象的

5、交点坐标，一般通过解这两个函数解析式组成的方程组得到，求符合某种条件的点的坐标，需根据问题中的数量关系和几何元素间的关系建立关于纵横坐标的方程(组)，解方程(组)便可求得有关点的坐标，对于几何问题，还应注意图形的分类讨论．学历训练1．若一次函数的图象如图所示，则抛物线的对称轴位于y轴的侧；反比例函数的图象在第象限，在每一个象限内，y随x的增大而．2．反比例函数的图象经过点A(m，n)，其中m，n是一元二次方程的两个根，则A点坐标为．3．如图：函数（≠0）与的图象交于A、B两点，过点A作AC⊥轴，垂足为点C，则△BOC的面积为．4．已知，点P

6、(n，2n)是第一象限的点，下面四个命题：(1)点P关于y轴对称的点P1的坐标是(n，-2n)；(2)点P到原点O的距离是n；(3)直线y=-nx+2n不经过第三象限；(4)对于函数y=，当x＜0时,y随x的增大而减小；其中真命题是.(填上所有真命题的序号)5．已知反比例函数y=的图像上两点A(x1，y1)、B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1＜y2,则m的取值范围是()A．m＜OB．m＞0C.m＜D.m＞6．已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为()7．已知反比例函数当时，y随x的增大面增大，那么一次函数的图象经过(

7、)A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限8．如图，A、B是函数的图象上的点，且A、B关于原点O对称，AC⊥轴于C，BD⊥轴于D，如果四边形ACBD的面积为S，那么()A．S＝1B．12D．S＝29．如图，已知一次函数y=kx+b(k≠O)的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=(m≠0)的图像在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D．若OA=OB=OD=l．（1）求点A、B、D的坐标；（2）求一次函数和反比例函数的解析式．10．已知A(x1、y1)，B(x2，y2

8、)是直线与双曲线()的两个不同交点．(1)求的取值范围；(2)是否存在这样的值，使得?若存在，求出这样的值；若不存在，请说明理由．11．已知反比例函数和一次函数y＝2x-1，其中