初中数学培优竞赛讲座第18讲__乘法公式.pdf

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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第十八讲乘法公式乘法公式是在多项式乘法的基础上，将多项式乘法的一般法则应用于一些特殊形式的多项式相乘，得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在复杂的数值计算，代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应用，在学习乘法公式时，应该做到以下几点：1．熟悉每个公式的结构特征，理解掌握公式；2．根据待求式的特点，模仿套用公式；3．对公式中字母的全面理解，灵活运用公式；4．既能正用、又可逆用且能适当变形或重新

2、组合，综合运用公式．例题【例1】(1)已知两个连续奇数的平方差为2000，则这两个连续奇数可以是．(江苏省竞赛题)22(2)已知(2000一a)(1998一a)=1999，那么(2000一a)+(1998一a)=．(重庆市竞赛题)思路点拨(1)建立两个连续奇数的方程组；(2)视(2000一a)·(1998一a)为整体，由平方和想到完全平方公式及其变形．注：公式是怎样得出来的?一种是由已知的公式，通过推导，得到一些新的公式；另一种是从大量的特殊的数量关系入手，并用字母表示数来揭示一类数量关系的一般规律—一公式．从特殊到一

3、般的过程是人类认识事物的一般规律，而观察、发现、归纳是发现数学规律最常用的方法．乘法公式常用的变形有：222222222(ab)(ab)(ab)(ab)(1)ab(ab)2ab，ab．222222(2)(ab)(ab)2a2b；22(3)(ab)(ab)4ab；22(ab)(ab)2222（4）ab，abc(abc)2(abbcac)42222【例2】若x是不为0的有理数，已知M(x2x1)(x2x1)，N(xx1)(xx1)，则M与N的大小是（）A．M>NB．M

4、、N的基础上，作差比较它们的大小．【例3】计算：248(1)6(7十1)(7十1)(7十1)(7十1)+1；(天津市竞赛题)22(2)1.345×0.345×2.69—1.345一1.345×0.345．(江苏省竞赛题)思路点拨若按部就班计算，显然较繁．能否用乘法公式，简化计算，关键是对待求式恰当变形，使之符合乘法公式的结构特征，对于(2)，由于数字之间有联系，可用字母表示数(称为换元)，将数值计算转化为式的计算，更能反映问题的本质特征．225xy【例4】(1)已知x、y满足x十y十＝2x十y，求代数式的值．(“希望杯

5、”邀请赛试题)4xy22(2)整数x，y满足不等式xy12x2y，求x+y的值．(第14届“希望杯”邀请赛试题)(3)同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整．甲商场：第一次提价的百分率为a，第二ab次提价的百分率为b，乙商场：两次提价的百分率都是(a>0，b>o)，丙商场：第一次提价的百分率为2b，第二次提价的百分率为a，则哪个商场提价最多?说明理由．(河北省竞赛题)思路点拔对于(1)，(2)两个未知数一个等式或不等式，须运用特殊方法与手段方能求出x、y的值，由平方和想到完全平方公式及其逆用，解题的关键是拆项

6、与重组；对于(3)把三个商场经两次提价后的价格用代数式表示，作差比较它们的大小．注：有些问题常常不能直接使用公式，而需要创造条件，使之符合乘法公式的特点，才能使用公式．常见的方法是：分组、结合，拆添项、字母化等．1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯222完全平方公式逆用可得到两个应用广泛的结论：(1)a2abb(ab)0；22揭示式子的非负性，利用非负数及其性质解题．(2)ab2ab应用于代数式的最值问题．代数等式的证明有以下两种基本方法：(1)由繁到简，从

7、一边推向另一边；(2)相向而行，寻找代换的等量．222【例5】已知a、b、c均为正整数，且满足abc，又a为质数．证明：(1)b与c两数必为一奇一偶；(2)2(a+b+1)是完全平方数．222222思路点拨从abc的变形入手；acb，运用质数、奇偶数性质证明．学力训练1．观察下列各式：2(x一1)(x+1)＝x一l；23(x一1)(x+x+1)=x一1；324(x一1)(x十x+x+1)=x一1．nn-1根据前面的规律可得(x一1)(x+x+⋯+x+1)=．(武汉市中考题)22ab2．已知ab4a2b50，则=．(杭州

8、市中考题)ab3．计算：22(1)1.2345+0.7655+2.469×0.7655：；2222222(2)1949一1950+1951一1952+⋯+1997一1998+1999=；219991998(3)．22199919971999199924．如图是用四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写