初中数学培优竞赛讲座第18讲乘法公式

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2、第十八讲乘法公式乘法公式是在多项式乘法的基础上，将多项式乘法的一般法则应用于一些特殊形式的多项式相乘，得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在复杂的数值计算，代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应用，在学习乘法公式时，应该做到以下几点：1．熟悉每个公式的结构特征，理解掌握公式；2．根据待求式的特点，模仿套用公式；3．对公式中字母的全面理解，灵活运用公式；4．既能正用、又可逆用且能适当变形或重新组合，综合运用公式．例题【例1】(1)已知两个连续奇数的平方差为2000，则这两个连续奇数可以是．(江苏省竞赛题)(2)已知

3、(2000一a)(1998一a)=1999，那么(2000一a)2+(1998一a)2=．(重庆市竞赛题)思路点拨(1)建立两个连续奇数的方程组；(2)视(2000一a)·(1998一a)为整体，由平方和想到完全平方公式及其变形．注：公式是怎样得出来的?一种是由已知的公式，通过推导，得到一些新的公式；另一种是从大量的特殊的数量关系入手，并用字母表示数来揭示一类数量关系的一般规律—一公式．从特殊到一般的过程是人类认识事物的一般规律，而观察、发现、归纳是发现数学规律最常用的方法．乘法公式常用的变形有：(1)，．(2)；(3)；（4），【例2】若x是不为

4、0的有理数，已知，，则M与N的大小是（）A．M>NB．M

5、【例4】(1)已知x、y满足x2十y2十＝2x十y，求代数式的值．(“希望杯”邀请赛试题)(2)整数x，y满足不等式，求x+y的值．(第14届“希望杯”邀请赛试题)(3)同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整．甲商场：第一次提价的百分率为a，第二次提价的百分率为b，乙商场：两次提价的百分率都是(a>0，b>o)，丙商场：第一次提价的百分率为b，第二次提价的百分率为a，则哪个商场提价最多?说明理由．(河北省竞赛题)思路点拔对于(1)，(2)两个未知数一个等式或不等式，须运用特殊方法与手段方能求出x、y的值，由平方和想到完全平方公式及其逆用，

6、解题的关键是拆项与重组；对于(3)把三个商场经两次提价后的价格用代数式表示，作差比较它们的大小．注：

7、有些问题常常不能直接使用公式，而需要创造条件，使之符合乘法公式的特点，才能使用公式．常见的方法是：分组、结合，拆添项、字母化等．完全平方公式逆用可得到两个应用广泛的结论：(1)；揭示式子的非负性，利用非负数及其性质解题．(2)应用于代数式的最值问题．代数等式的证明有以下两种基本方法：(1)由繁到简，从一边推向另一边；(2)相向而行，寻找代换的等量．【例5】已知a、b、c均为正整数，且满足，又a为质数．证明：(1)b与c两数必为一奇一偶；(2)2(a

8、+b+1)是完全平方数．思路点拨从的变形入手；，运用质数、奇偶数性质证明．学力训练1．观察下列各式：(x一1)(x+1)＝x2一l；(x一1)(x2+x+1)=x3一1；(x一1)(x3十x2+x+1)=x4一1．根据前面的规律可得(x一1)(xn+xn-1+…+x+1)=．(武汉市中考题)2．已知，则=．(杭州市中考题)3．计算：(1)1.23452+0.76552+2.469×0.7655：；(2)19492一19502+19512一19522+…+19972一19982+19992=；(3)．4．如图是用四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图

9、中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于a、b的恒等式．(大原市中考题)5．已知，则=．(菏泽市中考题)6．已知，则代数式的值为()．A．一15B．一2C．一6D．6(扬州市中考题)7．乘积等于()．A．B．C．D．(重庆市竞赛题)8．若，则的值是()．A．4B．20022C．22002D．420029．若，则的个位数字是()．A．1B．3C．5D．710．如图①，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a>b)，把余下的部分剪拼成一个矩形(如图②)，通过计算两个图形(阴影部分)的面积，验证了一个等式，则这个等式是()．A．B．

10、C．D．

11、(陕西省中考题)11．(1)设x+2z＝3z，判断x2一9y2+4z2+4xz的值是不是定值?如果是定值，求出它的值；否则