初中数学培优竞赛的讲座第20讲__线段

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1、.....第二十讲线段平面几何是研究平面图形(planeflgure)的性质的一门学科，主要是研究平面图形的形状、大小及位置关系．构成平面图形的基本元素是点和线，在线中，最简单、最常见的就是线段、射线或直线，它们的概念、性质及画图是后续学习研究由线段所组成的比较复杂图形(如三角形、四边形等)的基础．几何中的线段、射线、直线等概念是从现实的相关形象中抽象而来，它们没有了实物中那些诸如宽度、硬度、颜色之类的性质，但却为现实问题的解决提供了有力的工具，使得许多问题的研究可以转化为直观、简明的几何图形研究．解决与线段相关的问题，常用到中点、代数化、枚举与分类讨论等相关概念与方法．例题【

2、例1】平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为个，最多为个．(“希望杯”邀请赛)思路点拨画图探求，从简单情形考虑，从特殊情形考虑．注：几何原意是“测地术”，相传起源于四千多年前的土地测量、面积计算、器皿制造、房屋建筑、天文历算等实践活动的需要，公元前三百年左右，古希腊数学家欧基里德总结和整理了前人和当时的几何知识，写成了巨著《几何原本》．当今，几何巳形成结构严密的科学体系，成为数学中的一个重要分支，是训练逻辑思维能力与空间想象能力的最有效学科之一．求满足一定条件的某种几何图形的个数叫几何图形的计数，常用到穷举、归纳、逆推等方法，读者思考以下典型问题：(1)线段上有n个点(含两

3、个端点)共有多少条线段?(2)n条直线两两相交的直线最多有几个交点?(3)n条直线最多能把平面分成几个区域?【例2】如图，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N是线段AC的中点，P为NA的中点，Q为MA的中点，则MN：PQ等于()．(“五羊杯”邀请赛)A．1B．2C．3D．4思路点拨利用中点，设法把MN、PQ用含相同线段的代数式表示．【例3】如图，C是线段AB的中点，D是线段AC的中点，已知图中所有线段的长度之和为23，求线段AC的长度．思路点拨引人未知数，通过列方程求解．【例4】摄制组从A市到B市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到C市吃午饭，由于堵车，中午

4、才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息，司机说，再走从C市到这里路程的二分之一就到达目的地了，问A、B两市相距多少千米?(“华杯赛”试题)思路点拨条件中只有路程，而没有给出时间与速度，所以应当集中注意于名段路程之间的关系，画线段图分析，借助图形思考．【例5】(1)如图a，已知A、B在直线l的两侧，在l上求一点P，使PA+PB最小；(2)如图b，已知A、B在直线l的同侧，在l上求一点P，使PA+PB最小；(3)如图c，有一正方体的盒子ABCD—A1B1ClDl，在盒子内的顶点A处有一只蜘蛛，而在对角的顶点C处有一只苍蝇．蜘蛛应沿着

5、什么路径爬行，才能在最短的时间内捕捉到苍蝇?(假设苍蝇在Cl处不动)思路点拨联想到“两点之间，线段最短”性质，通过对称、考察特殊点等方法，化曲为直．学习参考.....注：恰当设元，运用方程思想，将线段、角的计算问题代数化，是解与线段、角相关计算问题的重要方法．数学既研究数，也研究形，许多数学问题既可以从代数角度来思考，也可以从形的角度加以解决．“谋定而后动”，解题方法的选择建立在分析的基础上，切忌“慌不择路”，扎进“死胡同”．分类思想是一种科学思想，在数学学习中的各阶段都要运用到，几何学运用分类思想时，总是与图形位置关系，数量关系相关的．【例6】摄制组从且市到月市有一天的路程，

6、计划上午比下午多走100km到C市吃午饭．由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400km，傍晚才停下来休息，司机说，再走C市到这里路程的一半就到达目的地．问A、B市相距多少千米?思路点拨画出线段图进行分析．如图13—1所示，设小镇为D点，傍晚在正点休息．∵GE=2EB，∴GE=BC∵AD=AC，∴DC=AC．∵DC+CE=（BC+AC）=AB∴DE=AB，又DE=400km；∴AB=600km．注：线段图形比较直观，在实际问题中有着广泛的应用．同学们想一想，“计划上午比下午多走100km”这个条件是必需的吗?如果把司机的话改成“再走C市到这

7、里路程的就到达目的地”，需要前面的条件吗?请同学们自己试完成解答．【例7】如图13-7所示，在一条河的两岸有两个村庄，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河流垂直，设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才能使从A到B的距离最短?思路点拨虽然A、B两点在河两侧，但连结AB的线段不垂直于河岸．如图13-8，关键在于使AP+BD最短，但AP与BD未连起来，要用线段公理就要想办使P与D重合起来，利用平行四边形的特征可以实现这一目的。如图13-9，建立在PD处符合题意．注：两点之间线段最短，但许多实际问题没这