上海交通大学2016级第一学期高等数学期中考试试卷(A类).pdf

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1、2016级第一学期《高等数学》期中考试试卷(A类)一、单项选择题（每小题3分，共15分）nnsin1.数列极限lim（）nnnsin（A）不存在；（B）等于1；（C）等于0；（D）等于1。2x2.当x0时，x与1ecoscos2xx是同价无穷小，则（）（A）1；（B）2；（C）3；（D）5。3.已知曲线C由极坐标方程r（02）所确定，P是C上对应于2的点。那么C在P点处的切线方程为（）2（A）r；（B）yx1；（C）yx；（D）yx1。222

2、4.设fx()在区间[,]ab上具有连续的二阶导函数，且x(,)ab，满足fxfx()()0，则fx()在区间(,)ab上（）（A）保号；（B）单调；（C）存在极值；（D）存在拐点。5.已知函数fx()在点x的某个邻域内有定义，对于两个命题0（I）fx()在点x可导当且仅当cos(())fx在点x可导；00（II）fx()在点x可导当且仅当arctan(())fx在点x可导，00下列选项正确的是（）（A）仅（I）正确；（B）仅（II）正确；（C）（I）和（II）都正确；（D）（I）和（II）都错误。二、填空题

3、（每小题3分，共15分）16.已知定义在R上的函数fx()严格单调增加，fx()是其反函数。若对于常数1a，方程fx()xa有解x，f()xxa有解x，则xx_______。1212cos,xx07.已知fx()，则fx()。2ln(1xx),02x8.若yx，则dy_________________。2(10)xx29.已知ye，则y(1)。2x110.函数fx()max(,)在区间(0,)上的最小值等于________。x2xx(2)三、（每小题8分，共16分）

4、22x11.用极限定义验证：lim2。2xxx34第1页221e1xxx12.计算极限lim。x0x四、（每小题8分，共16分）22313.已知yyx()是由方程xyxy2所确定的二阶可导函数，求y(1)。14.长度为50米的绳子通过一个定滑轮P将货车A和B（货车高度忽略不计）连接在一起。滑轮到地面的垂足是点Q，PQ的长度等于12米。在某个时刻t，0货车A在距离Q点5米处以2米/秒的速度远离Q点，此时货车B的运动速度等于多少？五、（第15题8分，第16题10分，共18分）15.已知函数fx

5、()xacosx（a1）在区间(0,2)中存在极小值0，问：fx()在(0,2)中是否存在极大值？若有，求该极大值。16.（1）证明：nZ，kZ，使得113knk!e；nnn1n1(1)(2)（2）求极限lim[sin(2nn!e)]。n六、（本题12分）xe17.全面讨论函数y的性态，并作出它的图形。xx2x(x1)e(xx22)e（y，y）23xx七、（本题8分）18.已知函数fx()和gu()满足Dab[,]，DRcd[,]。又fx()连续且存在

6、fgf反函数。证明：(1)fx()仅在区间[,]ab的端点处取到最值；(2)若函数gfx(())在(,)ab内不存在极大值，则gu()在(,)cd内也不存在极大值。第2页