上海交通大学线性代数b类试卷

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1、上海交通大学线性代数B类试卷一 单项选择题（每题3分，共18分） 1．设为实矩阵,则线性方程组只有零解是矩阵为正定矩阵的             （    ）(A) 充分条件；(B) 必要条件；(C) 充要条件；(D) 无关条件。2．已知为四维列向量组，且行列式 ，，则行列 式   （    ）(A)  40；    (B) －16；(C)  －3；   (D) －40。3．设向量组线性无关，且可由向量组线性表示，则以下结论中不能成立的是       （    ）(A) 向量组线性无关；(B) 对任一

2、个，向量组线性相关；(C) 存在一个，向量组线性无关；(D) 向量组与向量组等价。4．已知为阶可逆矩阵（），交换的第1，2列得，为的伴随矩阵，则     （    ）(A) 交换的第1，2行得； (B) 交换的第1，2行得；(C) 交换的第1，2列得； (D) 交换的第1，2列得。5．设为阶可逆矩阵，为的伴随矩阵，则         （    ）(A) ；                   (B) ；(C) ；                  (D) 。6．设是方程组的基础解系，下列解向量组中也是

3、的基础解系的是（  ）(A) ；     (B) ；(C) ；     (D) 。二 填空题（每题3分，共18分）7. 已知列向量 是矩阵 的对应特征值的一个特征向量。则＝            ，＝             ，＝            。8．设维列向量，其中。已知矩阵 可逆,且  ，则___    ______。9．已知实二次型正定，则常数的取值范围为________________。10．设矩阵，是中元素的代数余子式。已知，，且，则             。11．设,，其中是非齐

4、次线性方程组的解，已知为矩阵，且。 则线性方程组  的通解为                   。12．设，已知相似于对角阵 ，则=         ，=          。三 计算题（每题8分，共48分）13．设，计算阶行列式  。14．设线性方程组为  ，试问取何值时，此线性方程组无解，有唯一解，有无穷多解？当其有无穷多解时，求其通解。15．设为4阶方阵，其中为4维列向量，且线性无关，。已知向量，试求线性方程组的通解。16．已知为阶矩阵，且满足 ，其中。求矩阵。15．已知；都是线性空间的基，，

5、在基和下的坐标分别为和，且，其中： ；。试求：(1) ；(2) 基（用线性表示）。16．设实二次型  。求：正交变换，将化为标准型。四 证明题（每题8分，共16分）19．设矩阵，试证明：(1) 存在矩阵，使得的充分必要条件为秩；(2) 若，矩阵，满足，则。20．设是阶矩阵,是的特征多项式。证明: 矩阵可逆的充分必要条件为的特征值都不是的特征值。参考答案一 选择题  1.(C)  2.(D)  3.(B) 4．(B)  5.(A) 6.(C)二 填空题  7．-1,-3,0；  8. ；  9. ；  

6、10．；  11. ； 12. 。三 计算题13.  。14. 无解； 唯一解；无穷多解，通解为  。15. ，线性无关， ，解得 。16．；。17．（1），（2）。18．；      。四 证明题19．(1) ，有非零解；  (2)  若，只有零解，，所以，因此。20．设是矩阵的特征值，，则，于是     ，      行列式    故都不是的特征值。