线性代数b类-091001a

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1、-上海交通大学试卷（A卷）（2009至2010学年第1学期）班级号___________________学号______________姓名课程名称线性代数（B类）成绩一单项选择题（每题3分，共18分）1．记方程组为，若存在三阶矩阵，使得，则()(A)且；(B)且；(C)且；(D)且。2．设是的矩阵，是的矩阵，则齐次线性方程组()(A)当时仅有零解；(B)当时必有非零解；(C)当时仅有零解；(D)当时必有非零解。3．设矩阵与相似，其中，则矩阵＝（）(A)；(B)；(C)；(D)。4.设为阶矩阵，且,

2、，则必有（）(A)；(B)；(C)；(D)。5．设为阶正交矩阵，则以下一定是正交矩阵的是（其中为任意常数）（）(A)；(B)；(C)；(D)。.---题号一二13-1415-1617-1819-20总分得分批阅人(流水阅卷教师签名处)我承诺，我将严格遵守考试纪律。承诺人：6．n维向量线性无关的充要条件是（）(A)存在不全为零的数，使；(B)中任意一个向量都不能用其余向量线性表示；(C)中任意两个向量都线性无关；(D)中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示。二填空题（每题3分，共18分）7．设，，其

3、中互不相同，，则线性方程组的解是：___________，，。8．若实对称矩阵为正定矩阵，则的取值范围为。9．设为线性空间，，的子空间，，，的维数分别为2,2,和3。则的子空间的维数为。10．设，为3阶方阵，的列向量都是线性方程组的解向量，其中。则矩阵的秩＝。11.设为维实单位列向量，为正定矩阵，则的取值范围是_________。12.已知为四阶方阵,,,则。.---三解答题（每题8分，共48分）13．设行列式，试求：（1）；（2）。14．设线性方程组为，问,各取何值时，线性方程组无解，有唯一解，有

4、无穷多解？在有无穷多解时求出其通解。.---15．设矩阵的秩，且，，，是线性方程组的解，其中。试求：（1）方程组的通解；（2）矩阵。16．设向量，，记与都正交的向量的集合为。（1）证明是欧氏空间的子空间，并求出的一个标准正交基；（2）把以上所求的的标准正交基扩充为欧氏空间的一个标准正交基。.---17．已知线性空间的基到基的过渡矩阵为，且，，；试求：(1)基；(2)在基下有相同坐标的全体向量。18．求正交变换，将实二次型化为标准形，并写出正交矩阵或正交变换，并写出的标准型。.---四证明题（每题8分

5、，共16分）19．（1）证明：在线性空间中，变换A是线性变换；（2）求以上线性变换在基，，下的矩阵。20．设为阶方阵，且为可逆阵。若方程的全部根互异，分别是方程组的非零解（）。证明：线性无关。.---参考答案（线代B类）一选择题CDCDAB二填空题7.，，；8.；9.3；10．0；11.；12.1/4。三解答题13．（1）；（6分）（2）。（8分）14．当4时，方程组有唯一解；当4，2时，方程组无解。（4分）当4，2时，＝3<4，方程组有无穷多组解，其通解为，为任意常数（8分）15．（1），其中，为

6、任意常数。（2分）（2）设，则，，，得，，。故（8分）16．（1）是齐次线性方程组的解集，其中。所以是欧氏空间的子空间。的一个标准正交基为（4分）.---（2）由正交化得，为，为。则为欧氏空间的一个标准正交基。（8分）17．（1）设,,则，故，，；（2分）（2）设所求向量的坐标为，则，即，（4分）可逆，解方程，得，（6分）故所求向量为，其中为任意常数。（8分）18．；（6分）。（8分）四证明题19．（1）省略；（2）。20．因为，可逆，所以，故（），是矩阵的互异特征值。又，可逆，所以，故是对应的特征

7、向量（）。因此（），线性无关。.--