（江苏专用）2020版高考数学总复习第七章第三节基本不等式及其应用课件苏教版.pptx

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1、第三节基本不等式及其应用1.算术平均数与几何平均数3.拓展教材研读2.基本不等式 ≤ (a>0,b>0)考点一利用基本不等式求最值考点二基本不等式在实际问题中的应用考点突破1.算术平均数与几何平均数对于正数a,b,我们把①称为a,b的算术平均数,②称为a,b的几何平均数.教材研读2.基本不等式≤(a>0,b>0)(1)基本不等式成立的条件:③a>0,b>0.(2)等号成立的条件:当且仅当④a=b时取等号.(3)结论:两个正数a,b的算术平均数⑤不小于其几何平均数.3.拓展若a>0,b>0,则≤≤,当且仅当a=b时等号成立.知识拓展利用基本不等式求最值已知x>0,y

2、>0,则(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值,是2.(简记:积定和最小)(2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当⑧x=y时,xy有最⑨大值,是.(简记:和定积最大)1.(教材习题改编)函数y=x+(x≠0)的值域是.答案(-∞,-4]∪[4,+∞)解析当x>0时,y=x+≥2=4;当x<0时,y=x+≤-2=-4,故函数的值域是(-∞,-4]∪[4,+∞).2.(教材习题改编)若x>0,y>0,2x+5y=20,则lgx+lgy的最大值是.答案1解析x>0,y>0,2x+5y=20≥2,则0

3、,y=2时取等号,则lgx+lgy=lgxy≤1,故最大值是1.3.(2017江苏,10,5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.答案30解析设一年的总运费与总存储费用之和为y万元,则y=×6+4x=4≥240,当且仅当x=,即x=30时,等号成立.4.(2018江苏溧水中学月考)函数f(x)=2x+的最小值为.答案5解析f(x)=(2x+1)+-1≥2-1=5,当且仅当(2x+1)2=9,即x=1时取等号,则函数f(x)的最小值是5.5.(教材习题改编)若

4、正数x,y满足x+2y=1,则+的最小值是.答案3+2解析+=(x+2y)=3++≥3+2=3+2,当且仅当=,即x=-1,y=时取等号,故+的最小值是3+2.6.(2019江苏淮阴中学高三模拟)已知正数a,b满足2a+b=1,则+的最大值为.答案解析令a+1=m,b+2=n,m>1,n>2,则a=m-1,b=n-2,2a+b=2(m-1)+n-2=2m+n-4=1,则2m+n=5,所以+=(2m+n)=≥=,+=+=2-≤2-=,当且仅当n=2m=时取等号,故+的最大值是.考点一利用基本不等式求最值角度一　基本不等式的直接应用典例1(2018苏锡常镇四市高三调研

5、)已知a>0,b>0,且+=,则ab的最小值是.考点突破答案2解析因为a>0,b>0,所以=+≥2,解得ab≥2,当且仅当=时取等号,故ab的最小值是2.方法技巧应用基本不等式求解最值问题时要注意检验是否满足“一正二定三相等”,如果和或积不是定值,可以根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,再利用基本不等式求解.当分母是多项式,不能应用基本不等式时,可利用换元法将分母变为单项式,进而凑出基本不等式的使用条件.典例2(1)(2018江苏盐城中学高三期末)若log4(a+4b)=log2,则a+b的最小值是.(2)(2018扬州高三调研)已知函数f(x)=x

6、2+2x-b+1(a,b为正实数)只有一个零点,则+的最小值为.角度二　常数代换法求最值答案(1)9　(2)解析(1)由题意得a+4b=ab,a>0,b>0,则+=1,所以a+b=(a+b)=5++≥5+2=9,当且仅当=,即a=2b=6时取等号,故a+b的最小值是9.(2)函数f(x)=x2+2x-b+1(a,b为正实数)只有一个零点,则Δ=4a-4(-b+1)=0,即a+b=1.令b+1=t,则b=t-1,t>1,则a+b=a+t-1=1,即a+t=2,则+=+=+-2=(a+t)-2=-2≥-2=-2=,当且仅当=,即a=,t=时取等号,故+的最小值为.规律

7、总结常数代换法求最值的关键在于常数的变形应用,利用这种方法求最值要注意以下三个方面:1.条件的灵活变形,确定或分离出常数是基础;2.已知等式化为“1”的表达式,是代数式等价变形的基础;3.基本不等式求最值的条件需要检验.典例3(1)(2018南通高三调研)已知a,b,c均为正数,且abc=4(a+b),则a+b+c的最小值为.(2)(2019徐州铜山高三模拟)正数a,b,c满足+=,若+>t恒成立,则实数t的最大值为.角度三　消元法求最值答案(1)8　(2)2解析(1)由题意得c==4,又a,b,c均为正数,则a+b+c=a++b+≥2+2=8,当且仅当a=b=2

8、时取等号,