（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.4 基本不等式及其应用 理

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1、【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习第七章不等式7.4基本不等式及其应用理1．基本不等式≤(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)＋≥2(a，b同号)．(3)ab≤2(a，b∈R)．(4)≥2(a，b∈R)．以上不等式等号成立的条件均为a＝b.3．算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的几何平均数不大于它们的算术平

2、均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大)【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝x＋的最小值是2.(　×　)(2)函数f(x)＝cosx＋，x∈(0，)的最小值等于4.(　×　)(3)“x>0且y>0”是“＋≥2”的充要条件．(　×　)(4)若a>0，则a3＋的最小值为2.(　×　)(5

3、)不等式a2＋b2≥2ab与≥有相同的成立条件．(　×　)1．设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为________．答案　81解析　∵x>0，y>0，∴≥，即xy≤()2＝81，当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81.2．若实数x，y满足x>y>0，且log2x＋log2y＝1，则的最小值为________．答案　4解析　由log2x＋log2y＝1得xy＝2，又x>y>0，所以x－y>0，＝＝x－y＋≥2＝4，当且仅当x－y＝2，即x＝1＋，y＝－1时取等号，所以的最小值为4.3．若函

4、数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝________.答案　3解析　当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3.4．若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.答案　25解析　设矩形的一边为xm，则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，∴y＝x(10－x)≤[]2＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25.5．已知x，y∈R

5、＋，且x＋4y＝1，则xy的最大值为________．答案　解析　1＝x＋4y≥2＝4，∴xy≤()2＝，当且仅当x＝4y＝，即时，(xy)max＝.题型一　利用基本不等式求最值命题点1　配凑法求最值例1　(1)已知x<，则f(x)＝4x－2＋的最大值为________．(2)函数y＝(x>1)的最小值为________．(3)函数y＝的最大值为________．答案　(1)1　(2)2＋2　(3)解析　(1)因为x<，所以5－4x>0，则f(x)＝4x－2＋＝－(5－4x＋)＋3≤－2＋3＝1.当且仅当

6、5－4x＝，即x＝1时，等号成立．故f(x)＝4x－2＋的最大值为1.(2)y＝＝＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2.当且仅当(x－1)＝，即x＝＋1时，等号成立．(3)令t＝≥0，则x＝t2＋1，所以y＝＝.当t＝0，即x＝1时，y＝0；当t>0，即x>1时，y＝，因为t＋≥2＝4(当且仅当t＝2时取等号)，所以y＝≤，即y的最大值为(当t＝2，即x＝5时y取得最大值)．思维升华　(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时

7、，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．命题点2　常数代换或消元法求最值例2　(1)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是________．(2)(高考改编题)设a＋b＝2，b>0，则＋取最小值时，a的值为________．答案　(1)5　(2)－2解析　(1)方法一　由x＋3y＝5xy可得＋＝1，∴3x＋4y＝(3x＋4y)(＋)＝＋＋＋≥＋＝5.(当且仅当＝，即x＝1，

8、y＝时，等号成立)，∴3x＋4y的最小值是5.方法二　由x＋3y＝5xy得x＝，∵x>0，y>0，∴y>，∴3x＋4y＝＋4y＝＋4y＝＋·＋4(y－)≥＋2＝5，当且仅当y＝时等号成立，∴(3x＋4y)min＝5.(2)∵a＋b＝2，∴＋＝＋＝＋＝＋＋≥＋2＝＋1，当且仅当＝时等号成立．又a＋b＝2，b>0，∴当b＝－2a，a＝－2时，＋取得最小值．思维升华　条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间