4-3导数的应用.ppt

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1、4.3函数单调性与极值函数单调性的判别法函数的极值及其求法1直观观察2函数单调性的判别法3证应用拉氏定理,得单调性判别法之证明45解例16注函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．7例2解:8单调区间定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点．9讨论函数的单调性可以按以下步骤进行：1）确定函数f(x)的定义域；2）求f(x)，找出使f(x)=0和f(x)

2、不存在的点，以这些点为分界点，把定义域分成若干区间；3）在各个区间上判别f(x)的符号，以此确定f(x)的单调性。讨论函数单调性的步骤10解单调区间为例311解单调区间为注:区间内个别点导数为零或不存在,不影响函数在该区间的单调性.例412证：令∴F(x)在(0,+∞)内单调上升，又F(0)=0，F(x)在x=0处连续，例5(利用单调性证明不等式)13证例6(利用单调性证明不等式）141516小结单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应用.定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.应用：利用函数的单

3、调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.17思考题18不能断定.例但思考题之解答(第1页）19当时，当时，注意可以任意大，故在点的任何邻域内，都不单调递增．思考题解答(第2页)20极值是局部区域上的最大或最小值；在间断点或端点处不考虑极值。观察图形21函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.定义极值的定义22极值存在的必要条件定理23定义注意:例如,驻点与极值点24极值存在的第一充分条件左侧单增右侧单减25极值存在的第一充分条件左侧单减右侧单增26极值存在的第一充分条件(不是极值点情形

4、)左右侧皆单增左右侧皆单减27求极值的步骤28解列表讨论极大值极小值例129图形如下例1中函数之图形30极限存在的第二充分条件31证定理之证明32解例233图形如下例2中函数之图形34注注意:35解例336以下命题正确吗？思考题37不正确．例思考题之解答（第1页）38在–1和1之间振荡故命题不成立．思考题解答（第2页）39思考题解答（第3页）404142函数的最大值和最小值最值与极值的区别最大最小值的求法43函数的最大值和最小值44最值与极值的区别设函数y=f(x)定义在区间[a,b]上.最大(小)值是对整个区

5、间而言的，而极大（小）值是对极值点的某个邻域而言的,是局部性的.所以说，最值是函数的整体性质，而极值是函数的局部性质.(2)最大（最小）值可以在区间的端点取得，而极值只能在开区间内取得.45本节中关于连续函数的假设由连续函数在闭区间上的性质，连续函数在闭区间上一定能取得最大最小值.为了简化讨论，在本节中我们假设所讨论的函数在闭区间内只有有限个驻点和导数不存在的点，因此极值点只能有有限多个.46函数在哪些点处可能取最值？由前面的讨论，若函数在区间内部取得最值，则此最值点必为极值点，故它为驻点或导数不存在的点.因此

6、最值只能在区间端点或驻点或导数不存在的点处取得.由于我们假设了函数只有有限个驻点和极限不存在的点，因此我们只需要从有限个函数值（函数在端点，驻点或导数不存在的点处的函数值）中找出最大最小值.471.求函数的驻点和不可导点.2.求函数在区间端点、驻点和不可导点处的函数值,比较大小,最大者即为最大值,最小者即为最小值.求最大最小值的步骤48例1解计算比较得可能取最大最小值的点：x=-3,-2,1,4.49例1中函数之图像50(1)建立所论问题中变量的函数关系式（目标函数）;(2)求最值;实际问题求最值注：若目标函数

7、只有唯一驻点，有根据问题的实际意义最大(小)值存在,则该点的函数值即为所求的最大（或最小）值51例252解如图,例2之解答目标函数53解得例2之解答54曲线的凹凸性、拐点和渐近线凹凸性、拐点及其判别渐近线的求法水平渐近线垂直渐近线斜渐近线55如何研究曲线弯曲的方向？5657如果函数曲线位于其每一点切线的下方则称曲线在（a,b)内是凸的如果函数曲线位于其每一点切线的上方则称曲线在（a,b)内是凹的凹凸性的概念设函数y=f(x)在区间(a,b)内可导.58注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.拐点的定义连续曲线上凹

8、弧和凸弧的分界点称为曲线的拐点.59直观观察60凹凸性的判定的充分条件61解注意到,例162拐点的必要条件注:二阶导数不存在的点也可能是曲线的拐点.回顾：连续曲线上凹弧和凸弧的分界点称为曲线的拐点.63拐点的求法64解凹的凸的凹的拐点拐点例265例2中函数之图形66求的凹凸区间及其拐点。解：令得当x=0时，f(x)不存在。例367用x=0和x=-1/2将定义域分开：和（0，0）为曲线