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1、第六章参数估计X~P(λ),X~E(λ),X~N(μ,σ2)用所获得的样本值去估计参数取值称为参数估计.参数估计点估计区间估计用某一数值作为参数的近似值在要求的精度范围内指出参数所在的区间参数估计的基本思想第一讲参数的点估计导读内容1、什么是参数估计，点估计和区间估计有何区别？2、矩估计法和极大似然估计法的基本原理分别是什么？如何求参数的矩估计量（值）和极大似然估计量（值）？3、如何评价估计量的好坏？一.矩估计法显然因此,很自然地想到用样本矩来代替总体矩,从而得到总体分布中参数的一种估计.定义：用样本矩来代替总体矩,从
2、而得到总体分布中参数的一种估计.这种估计方法称为矩法估计.得到含有未知参数(θ1,…,θk)的k个方程.解这k个联立方程组就可以得到(θ1,…,θk)的一组解:用上面的解来估计参数θi就是矩法估计.解:其概率密度函数为总体X的期望为从而得到方程所以λ的矩估计量为极大似然原理的直观想法是:一个随机试验如有若干个可能的结果A,B,C,….若在一次试验中,结果A出现,则一般认为A出现的概率最大.极大似然估计的基本思想二.极大似然估计法令求极大似然估计的一般步骤归纳如下：X123P例1设总体X具有分布律：其中为未知参数，已知取
3、得了样本值试求的矩估计值和极大似然估计值。例2已知随机变量的密度函数为其中为未知参数，求的矩估计量与极大似然估计量。令(2)似然函数,解:(1)故的矩估计量为第二节估计量的评选标准对于总体的同一个未知参数，由于采用的估计方法不同，可能会产生多个不同的估计量。问题：当总体的同一个参数存在不同的估计量时，究竟采用哪一个更好？用什么样的标准来评价估计量的好坏？三个常用的评价标准：无偏性、有效性和一致性。一.无偏性在评价一个估计量的好坏时,希望估计量与被估参数越接近越好.但估计量是一个随机变量,它的取值随样本的观测值而变,有时
4、与被估参数的真值近些,有时远些,我们只能从平均意义上看估计量是否与被估参数尽量接近,最好是等于被估参数.例:设总体X具有均匀分布,其密度函数为解:用矩法估计得求θ的无偏估计.总体X的均值例:设总体X的k阶矩E(Xk)存在,证明样本的k阶矩是E(Xk)的无偏估计.证明:所以,证明样本的k阶矩是E(Xk)的无偏估计.因为例:设总体的方差D(X)存在,试证样本二阶中心矩B2是总体方差D(X)的有偏估计.证明:所以,B2是总体方差D(X)的有偏估计.注:二.有效性一个参数的无偏估计量不是唯一的,假若参数θ有两个无偏估计量,我们
5、认为其观测值更密集在参数θ真值附近的一个较为理想.由于方差是随机变量取值与其数学期望的偏离程度的度量,所以无偏估计以方差小者为好.证明:由于总体服从泊松分布，故于是有同理但是例:设(X1,X2,X3)是来自总体X的一个样本,证明下面的三个估计量都是总体均值E(X)的无偏估计量证明三.一致性估计量的无偏性和有效性都是在样本容量固定的前提下提出的.我们自然希望随着样本容量的增大,一个估计量的值稳定于待估参数的真值.这就对估计量提出了一致性的要求.
