参数估计的点估计.ppt

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1、第七章参数估计数理统计的基本问题之一是根据样本所提供的信息，对总体的分布以及分布的数字特征做出统计推断．统计推断的主要内容分为两大类：一类是参数估计问题，另一类是假设检验问题．本章主要讨论参数估计问题．这里的参数可以是总体分布中的未知参数，也可以是总体的某个数字特征．若总体分布形式已知，但它的一个或多个参数未知或总体的某个数字特征未知时，就需借助总体X的样本来估计未知参数．以下主要讨论总体参数的点估计和区间估计．§7.1点估计参数的点估计(PointEstimation)，就是利用样本的信息对总体分布中的未知参数作定值估计．设总体X的分布函数形式为已知，但它的一个或多

2、个参数为未知，我们的目的是构造一个相应的统计量去估计该未知参数，即借助于总体X的一个样本来估计总体的未知参数，这种估计称为参数的点估计．下面给出两种点估计量的求法．一．矩估计矩估计(MomentEstimation)又称数字特征法估计，它的基本思想是用样本矩估计总体的相应矩，用样本的数字特征估计总体相应的数字特征．若总体X中包含k个未知参数θ1，θ2，…，θk，记总体原点矩，则由样本原点矩可建立如下k个方程的方程组．即（7-1）注意：上述方程的右端实际上包含有未知参数θ1，θ2，…，θ，因此，（7-1）是k个未知量、k个方程的一个方程组，一般来说，我们可以从中解得它们

3、就是未知参数θ1，θ2，…，θ的矩估计．另外，（7-1）中也可用相应的中心矩代替．利用矩估计求出的估计量称为矩估计量，这种求估计量的方法称为矩法．可以看出，无论总体X服从什么分布，只要EX=μ，DX=σ2存在，它们的矩估计量总是矩估计既直观又简便，特别是在估计总体的均值、方差等数字特征时，不必知道总体的分布类型，这是矩估计的优点．矩估计的不足之处是要求总体存在所需的矩，在总体分布类型已知的情形下，矩估计也未充分利用总体分布类型提供的信息，这时它的精度可能比别的估计法低．二．最大似然估计矩估计不涉及总体的分布类型，而实际问题中总体的分布类型常常是已知的，这正是估计总体参

4、数的一个有用信息．在估计参数时，我们应充分利用这些信息，以下给出在总体分布类型已知时的最大似然估计(MaximumLikelihoodEstimation)．1.最大似然估计法的基本思想：在随机抽样中，对于随机样本记它的取值为，由于是随机的，在一次抽样中居然取到则我们有理由认为该随机样本取到的概率最大．从而可选取适当的参数，使其取到该样本值的概率达到最大，这就是最大似然估计的基本思想．先看一个例子，然后分别讨论离散情形和连续情形．2.最大似然估计的基本步骤（1）总体分布为离散的情形总体X的概率分布，其中θ1，θ2，…，θ是总体分布中的未知参数，这时样本值（）出现的概率

5、是（7-2）记此概率为，即（7-3）它是参数的函数，选择参数值使（7-4）并用作为的估计值，这种求估计值的方法称为最大似然估计法；用这种方法求得的估计值叫做的最大似然估计值；而称为参数的似然函数(LikelihoodFunction)．如果似然函数对的导数或偏导数存在，那么根据多元函数极值理论应有（7-5）从中解出的最大值点即为最大似然估计值．由于对数函数lnL是单调增加的，所以L和有相同的最大值点．利用这一事实，可将最大化L的问题转化为最大化lnL，这样，往往可简化最大似然估计的求法．通常将lnL称为对数似然函数．(2)总体分布为连续的情形设总体X的概率密度是，其中

6、θ1，θ2，…，θk为未知参数．考察随机样本（X1，X2，…，Xn）落在样本值（）的指定邻域内的概率其中都是充分小的常量．令，（7-6）由于是常数，所以上述概率达到最大，当且仅当L（θ1，θ2，…，θk）达到最大．这里的L（θ1，θ2，…，θk）称为似然函数，满足的称为的最大似然估计；这种求估计值的方法同样称为最大似然法．具体做法与情形（1）相同．