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1、第七章 参数估计总体是由总体分布来刻画的.总体分布类型的判断──在实际问题中,我们根据问题本身的专业知识或以往的经验或适当的统计方法,有时可以判断总体分布的类型.总体分布的未知参数的估计──总体分布的参数往往是未知的,需要通过样本来估计.通过样本来估计总体的参数,称为参数估计,它是统计推断的一种重要形式.本章讨论:参数估计的常用方法.估计的优良性准则.若干重要总体的参数估计问题.例如(1)为了研究人们的市场消费行为,我们要先搞清楚人们的收入状况.假设某城市人均年收入X∼N(,2).但参数和2的具体值并不知道,需要通过样本来估计.(2)假定某城
2、市在单位时间(譬如一个月)内交通事故发生次数X∼P().参数未知,需要从样本来估计.这类问题称为参数估计.参数估计问题的一般提法X1,X2,…,Xn要依据该样本对参数作出估计，或估计的某个已知函数.现从该总体抽样，得样本设有一个统计总体，总体的分布函数向量).为F(x,)，其中为未知参数(可以是参数估计点估计区间估计（假定身高服从正态分布）设这5个数是:1.651.671.681.781.69估计为1.68，这是点估计.这是区间估计.估计在区间[1.57,1.84]内，假如我们要估计某队男生的平均身高.现从该总体选取容量为5的样本，我们的任务是要
3、根据选出的样本（5个数）求出总体均值的估计.而全部信息就由这5个数组成.第七章第一节参数的点估计概念一、点估计概念及讨论的问题例1已知某地区新生婴儿的体重X~随机抽查100个婴儿…得100个体重数据9,7,6,6.5,5,5.2,…呢?据此,我们应如何估计和而全部信息就由这100个数组成.为估计,我们需要构造出适当的样本的函数T(X1,X2,…Xn)，每当有了样本，就代入该函数中算出一个值，用来作为的估计值.把样本值代入T(X1,X2,…Xn)中，得到的一个点估计值.T(X1,X2,…Xn)称为参数的点估计量，注意:估计量,估计值和统计量三个概念的区
4、别和联系二、寻求估计量的方法1.矩估计法2.极大似然法3.最小二乘法4.贝叶斯方法……这里我们主要介绍前面两种方法.其基本思想是用样本矩估计总体矩.理论依据:矩是基于一种简单的“替换”思想建立起来的一种估计方法.是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的.大数定律记总体k阶矩为样本k阶矩为用相应的样本矩去估计总体矩的估计方法就称为矩估计法.记总体k阶中心矩为样本k阶中心矩为设总体X的分布函数中含有k个未知参数步骤一、我们把总体X的m阶原点矩E(Xm)记为am,m=1,2,,k一般地,am(m=1,2,,k)是总体分布中的参数1,2,,k的函数.故
5、应该把am(m=1,2,,k)记之为:am(1,2,,k)(m=1,2,,k)方法步骤二、算出m阶样本原点矩:步骤三、令am(1,2,,k)=Am(m=1,2,,k)得关于1,2,,k的方程组步骤四、解这个方程组,其解记为它们就可以做为1,2,,k的估计.这样求出的估计叫做矩估计.∵X1,X2,,Xn是独立同分布的.∴X1m,X2m,,Xnm也是独立同分布的.于是有:E(X1m)=E(X2m)==E(Xnm)=E(Xm)=am.根据大数定律,样本原点矩Am作为X1m,X2m,,Xnm的算术平均值依概率收敛
6、到均值am=E(Xm).即:原理解释解:由矩估计法,样本矩总体矩从中解得的矩估计.即为数学期望是一阶原点矩是未知参数,例1设总体X的概率密度为其中X1,X2,…,Xn是取自X的样本,求参数的矩估计.设总体的均值为,方差为2,于是由此列出方程组:例2均值,方差2的矩估计∴均值,方差2的矩估计是:例如求正态总体N(,2)两个未知参数和2的矩估计为总体均匀分布X∼U(a,b).求:两个参数a,b的矩估计解:又如但是由方程组求解出a,b的矩估计:解:由密度函数知例3设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本其中>0,求的矩估计.具有均值为
7、的指数分布故E(X-)=Var(X-)=即E(X)=Var(X)=解得令用样本矩估计总体矩矩法的优点是简单易行,并不需要事先知道总体是什么分布.缺点是，当总体类型已知时，没有充分利用分布提供的信息.一般场合下,矩估计量不具有唯一性.其主要原因在于建立矩法方程时，选取那些总体矩用相应样本矩代替带有一定的随意性.三、极大似然法是在总体类型已知条件下使用的一种参数估计方法.它首先是由德国数学家高斯在1821年提出的,GaussFisher然而，这个方法常归功于英国统计学家费歇.费歇在1922年重新发现了这一方法，并首先研究了这种方法的一些性质.极大似然法的
8、基本思想先看一个简单例子：一只野兔从前方窜过.是谁打中的呢？某位同学与一位猎人一起外出打猎.如果要你推测，你
