《点估计的求法》ppt课件

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1、一、矩估计法第二节点估计的求法二、极大似然估计法一.矩估计法理论依据：记总体k阶矩为样本k阶矩为（辛钦大数定律及其推论）则样本k阶矩依概率收敛于总体k阶矩.方法：出待估参数.用样本k阶矩估计总体k阶矩建立含有待估参数的方程,从而解样本X1,X2,…,Xn的前k阶矩记为步骤：设总体的分布函数的形式已知，待估参数为总体的前k阶矩存在.（1）求出总体的前k阶矩，一般是这k个参数的函函数,记为：7-12（3）解此方程组,得k个统计量：称为未知参数1,,k的矩估计量这是含未知参数1,2,,k的k个方程构成的方程组，（2）令7-12代入样本

2、值，得k个数:称为未知参数1,,k的矩估计值例1.设总体X~B(m,p),其中p未知，X1,X2,…,Xn为总体的样本,求p的矩估计量.解：令7-13得总体矩样本矩例2.设总体X的概率密度为解：X1，…，Xn为样本，求参数的矩估计.令得总体矩样本矩例3.设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本其中θ>0,求θ，μ的矩估计.解:令解得用样本矩估计总体矩由课文本节例1知：不论总体为何分布，总体均值的矩估计量总是总体方差的矩估计量总是例4.设从某灯泡厂某天生产的灯泡中随机抽取10只灯泡，测得其寿命为(单位:小时)1050,1100,108

3、0,1120,1200，1250,1040,1130,1300,1200，试用矩法估计该厂这天生产的灯泡的平均寿命及寿命分布的方差.解：7-14二、极大似然估计法即：在一次试验中，概率最大的事件最有可能发生.引例:有两个外形相同的箱子,各装100个球，一箱中取得的球是白球.问:所取的球来自哪一箱？答:第一箱.中有99个白球1个红球，一箱中有1个白球99个红球。现从两箱中任取一箱,并从箱中任取一球,结果所一般说，若事件A发生的概率与参数有关，取值不同，P(A)也不同。则应记事件A发生的概率为P(A).若一次试验，事件A发生了，可认为此

4、时的值应是在中使P(A)达到最大的那一个。这就是极大似然原理.（极大似然原理）极大似然估计法的理论依据：X1,X2,…Xn是取自总体X的样本，x1,x2,…xn是样本值.则样本的联合分布律为：似然函数：其中为未知待估参数，1.X是离散型总体，其分布律为:记2.X是连续型总体，其概率密度为为其样本的似然函数.则称称为样本的似然函数.似然函数的值的大小实质上反映的是该样本值出现的可能性大小.极大似然估计的方法：对于给定的样本值x1,x2,…,xn，选取使得其似然函数达到最大值。即求使得7-22称为未知参数1,,k的极大似然估计值这样得

5、到的估计值对应的统计量称为未知参数1,,k的极大似然估计量(1)由总体分布和所给样本，求得似然函数步骤：(2)求似然函数的对数函数函数（化积商为和差，而和同时取得最大值）(3)解方程组LLLLLLL7-12(4)得未知参数1,,k的极大似然估计值及其对应的极大似然估计量7-12若待估参数只有一个，则似然函数是一元函数L(θ)，此时，只须将上述步骤中求偏导改为求导即可。说明：例5.设总体X服从参数为的泊松分布，求参数λ的极大似然估计量解：的样本，样本观察值为由X服从泊松分布，得X的分布律为为从总体X中随机抽取设似然函数为两边取对数，

6、得=0得对λ求导，并令其为0，所以参数λ的极大似然估计量为：，其中λ>0总体X的样本值，求参数λ的极大似然估计值.例6.设总体X的概率密度为为待估参数，a>0是已知常数，是取自解:两边取对数，得对λ求导,并令其为0，得这就是λ的极大似然估计值.其中θ是未知参数，3，1，3，0，3，1，2，3，是来自总体X的样本观察值,求参数θ的极大似然估计值.例7.设总体X的分布律解：两边取对数，得对θ求导，并令其为0，=0得和因为不合题意，所以θ的极大似然估计值为1.可证明极大似然估计具有下述性质：设θ的函数g=g(θ)是上的实值函数,且有唯一反函数.如果

7、是θ的极大似然估计，则g()也是g(θ)的极大似然估计.关于极大似然估计的两点说明：此性质称为极大似然估计的不变性例8.设X1X2，…，Xn为取自参数为θ的指数分布总体的样本，a>0为一给定实数。求p=P{X

8、似然估计值与极大似然估计量.解：由X~U(a,b)知，X的密度函数为似然函数为似然函数只有当a