数值分析3-07.ppt

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1、§3.7数据拟合的最小二乘法1湘潭大学数学与计算科学学院在生产实践中，人们常常需要根据已知观测数据确定不同量之间的关系，为进一步判断、预测等提供理论依据，数据拟合的最小二乘法正是解决这个问题的重要方法.2湘潭大学数学与计算科学学院1、两个变量的数据拟合考察变量x和y，通过实验得到它们之间满足一组数据我们希望建立变量y和x的近似函数关系式，并称为相应的数据拟合曲线.为了建立y与x的关系，首先需猜想的形式，或称给出问题的数学模型.3湘潭大学数学与计算科学学院例1某物质的溶解度y和温度x的关系经测定满足下面数据表，试建立该问题的数学模型.将(x,y)的数

2、据点描在一坐标纸上，则如下图所示.4湘潭大学数学与计算科学学院y与x近似成抛物线关系，数据点分布在一抛物线的两侧.从图中可见，因此，可以猜测即有其中是待定常数，这就是本问题的数学模型.5湘潭大学数学与计算科学学院确定了问题的数学模型后，中的待定常数.还需求出不妨假设与待定常数呈线性关系，即这里是线性无关函数系，为待定常数.6湘潭大学数学与计算科学学院在例1中，设函数误差为我们希望猜想的数学模型应尽量接近观测数据，即使得误差带权平方和越小越好.7湘潭大学数学与计算科学学院线性最小二乘逼近（拟合）求使得称为关于数据的最小二乘逼近(拟合)函数.8湘潭大学

3、数学与计算科学学院任给向量及一组权系数相应的内积和范数分别定义为9湘潭大学数学与计算科学学院如何求解极小问题记则10湘潭大学数学与计算科学学院令则得即（*）11湘潭大学数学与计算科学学院记n维向量（*）则（*）式可写为由此得方程组（称为法方程组）12湘潭大学数学与计算科学学院因此，极小问题的解可通过求解相应的法方程组得到.13湘潭大学数学与计算科学学院现在我们对下表中的离散数据求其最小二乘逼近取权系数为1，基函数待定常数由法方程组14湘潭大学数学与计算科学学院待定常数由法方程组确定.经计算可得因此，溶解度y和温度x近似满足关系15湘潭大学数学与计算

4、科学学院上述变量y依赖于单个变量x的数据拟合问题，可推广到依赖于多个变量的情形.相应的数据拟合问题可描述为：已知一组测量数据以及一组权系数2、两个以上变量的数据拟合16湘潭大学数学与计算科学学院用数据拟合的最小二乘法确定变量y与变量的关系式，即求多元函数分二步可实现多个变量的最小二乘数据拟合.同两个变量的数据拟合的最小二乘法类似，17湘潭大学数学与计算科学学院步1建立多个变量数据拟合问题的数学模型，即确定多元函数所属的有限维函数空间不妨记这里多元函数系是线性无关函数组.18湘潭大学数学与计算科学学院步2求使得这里称为关于测量数据19湘潭大学数学与计

5、算科学学院称为关于测量数据的最小二乘逼近（拟合）函数.同两个变量的情形完全类似，多个变量最小二乘问题等价于求解法方程的解。20湘潭大学数学与计算科学学院