数值分析数值积分.ppt

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1、第4章数值积分1§1引言1.数值求积的基本思想依据微积分基本定理，对于积分只要找到被积函数的原函数，便有下列牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式：但对于下列情形：2（1）被积函数，诸如等等，找不到用初等函数表示的原函数；（2）当是由测量或数值计算给出的一张数据表.这时，牛顿-莱布尼茨公式也不能直接运用.因此有必要研究积分的数值计算问题.由积分中值定理知，在积分区间内存在一点ξ，成立3就是说，底为而高为的矩形面积恰等于所求曲边梯形的面积(图4-1).图4-14问题在于点ξ的具体位置一般是不知道的

2、，因而难以准确算出的值.将称为区间上的平均高度.这样，只要对平均高度提供一种算法，相应地便获得一种数值求积方法.用两端点“高度“与的算术平均作为平均高度的近似值，这样导出的求积公式是梯形公式(几何意义参看图4-2).5图4-2用区间中点的“高度”近似地取代平均高度，则又可导出所谓中矩形公式(简称矩形公式)6一般地，可以在区间上适当选取某些节点，然后用加权平均得到平均高度的近似值，这样式中称为求积节点；称为求积系数,亦称伴随节点的权.权仅仅与节点的选取有关，构造出的求积公式具有下列形式：的具体形式.而不依赖于

3、被积函数kA7这类数值积分方法通常称为机械求积，其特点是将积分求值问题归结为函数值的计算，这就避开了牛顿-莱布尼茨公式需要寻求原函数的困难.82.代数精度的概念定义1如果某个求积公式对于次数不超过的多项式均能准确地成立，但对于次多项式就不准确成立，则称该求积公式具有次代数精度.梯形公式和矩形公式均具有一次代数精度.数值求积是近似方法，为保证精度，自然希望求积公式对尽可能多的函数准确成立.9欲使求积公式具有次代数精度，则只要令它对都准确成立，就得到10如果事先选定求积节点，譬如，以区间的等距分点作为节点，这时

4、取，求解方程组即可确定求积系数，而使求积公式至少具有次代数精度.构造求积公式，原则上是一个确定参数和的代数问题.11例求a,b,c的值使下列求积公式的代数精度达到最高。123.插值型的求积公式设给定一组节点且已知函数在这些节点上的值，作插值函数.取作为积分的近似值，这样构造出的求积公式13称为是插值型的，式中求积系数通过插值基函数积分得出由插值余项定理(第2章的定理2)即知，对于插值型的求积公式，其余项式中ξ与变量有关，14当是次数不超过的多项式时，插值多项式就是函数本身，余项为零，反之，如果求积公式至少具

5、有次代数精度，则它必定是插值型的.事实上，这时公式对于插值基函数应准确成立，即有至少具有次代数精度.所以这时插值型求积公式15定理1注意到上式右端实际上等于因而成立.这样，有下面定理.求积公式至少有次代数精度的充分必要条件是，它是插值型的.164.求积公式的收敛性与稳定性定义2其中在求积公式中，由于计算可能产生误差，实际得的将是，即在求积公式中，若则称求积公式(1.3)是收敛的.记17如果对任给小正数只要误差充分小就有则表明求积公式计算是稳定的，由此给出下面定义.定义3就有成立，则称求积公式是稳定的.对任给

6、若只要18定理2证明取若求积公式中系数则此求积公式是稳定的.对任给都有若对则当时有19由定义3知，求积公式是稳定的.20§2牛顿-柯特斯公式1.柯特斯系数设将积分区间划分为等分，选取等距节点构造出的插值型求积公式称为牛顿-柯特斯公式，式中称为柯特斯系数.引进变换步长则利用等距节点的插值公式，有21当时，这时的求积公式就是梯形公式22当时，相应的求积公式是辛普森(Simpson)公式柯特斯系数为23的牛顿-柯特斯公式称为柯特斯公式，这里可构造柯特斯系数表.其形式是2425从柯特斯系数表看到时，柯特斯系数出现负

7、值，特别地，假定于是有且则有26它表明初始数据误差将会引起计算结果误差增大，即计算不稳定，故的牛顿-柯特斯公式是不用的.272.偶阶求积公式的代数精度由定理1，阶的牛顿-柯特斯公式至少具有次的代数精度.先看辛普森公式，它是二阶牛顿-柯特斯公式，因此至少具有二次代数精度.用进行检验，本节讨论代数精度的进一步提高问题.按辛普森公式计算得28另一方面，直接求积得这时有，而它对通常是不准确的，辛普森公式实际上具有三次代数精度.均准确成立,即辛普森公式对次数不超过三次的多项式因此，定理3当阶为偶数时，牛顿-柯特斯公

8、式至少有次代数精度.29证明我们只要验证，当为偶数时，牛顿-柯特斯公式对的余项为零.由于这里引进变换并注意到有按余项公式有30因为被积函数若为偶数，则为整数，为奇函数，所以再令进一步有313.几种低阶求积公式的余项按余项公式，梯形公式的余项这里积分的核函数在区间上保号(非正)，应用积分中值定理，在内存在一点使，3233§3复化求积公式复化求积的基本思想是把积分区间分成若干子区间(通常是等分)，再在每个子区间上用