数值分析分作业(数值积分)

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1、第四章数值积分要点:(1)数值积分公式的代数精确度概念,代数精确度所蕴含的余项表达式(2)插值型求积公式的构造及余项表达式(3)插值型求积公式关于代数精确度的结论及证明(4)梯形公式、Simpson公式的形式及余项表达式(5)复合梯形公式、复合Simpson公式及其余项表达式(6)掌握如何根据要求的精度依据复合梯形(或Simpson)公式的余项确定积分区间[a,b]的等分次数n(7)Newton-Cotes求积分公式的特点以及代数精确度的结论(8)高斯型求积公式的概念复习题:1、已知求积公式为(1)确定它的代数精度,并指出它是否为G

2、auss公式;(2)用此求积公式计算定积分解:(1)依次取代入积分公式可发现:左端=右端,而当取时,左端可端可见该是求积公式具有5阶代数精确度由于求积公式节点数为,而公式代数精确度所以该求积公式为Gauss公式(1)对于,有故2、对于2结点插值型求积公式。(1)如果求积分公式是两结点牛顿—科特斯求积公式,请给出求积系数,求积结点,并给出积分余项表达式(2)若使其具有最高的代数精度,试确定求积系数与求积结点?代数精度为多少?注:本题不用考虑1、分别用梯形公式和二点Gauss公式计算积分,比较二者的精度解:利用梯形公式,注:Gauss公

3、式部分不要2、对于积分。(1)写出梯形公式与辛普森公式;(2)请直接指出这两个公式的代数精度;(3)问区间[0,1]应分为多少等分,用复化辛普森公式才能使误差不超过矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。解:(1),(2)梯形公式余项辛普森公式余项可见梯形公式代数精度为,辛普森公式代数精度(3)根据复合辛普森公式的余项注意到令,解得可见当取时,对应的复合辛普森公式可满足精度要求3、确定下列公式中的参数,,,使其代数精度尽量高,并指出所得公式的代数精确度。解:依次取代入积分公式,并令:左端=右端,得方程组,解得得公式:取代入公式,有左端=右端取代入公式

4、,有左端右端可见该求积公式代数精确度为1、确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指出其代数精度解:解题过程与上题类同,所得结果代数精确度为2、试设计求积公式,使之代数精度尽量高,并指出其所具有的代数精度。解:解题过程与上题类同,所得结果代数精确度为3、求积公式具有多少次代数精确度解:依次取代入积分公式,得左端=右端当取时,左端右端,故公式的代数精确度为4、试设计求积公式,使之代数精度尽量高,并指出其所具有的代数精度。解:依次取代入积分公式,令左端=右端,得得公式的代数精确度为1、试确定下列求积公式的代数精确度解:依次取

5、代入积分公式,得左端=右端当取时,左端右端,故公式的代数精确度为2、试确定常数,使求积公式有尽可能高的代数精度,并指出代数精度是多少,该公式是否是Gauss型?并用此公式计算积分(结果保留5位小数)解:依次取代入积分公式,令左端=右端,得对应求积公式依次取代入积分公式,得左端=右端当取时,左端右端,故公式的代数精确度为由于求积公式节点数,而代数精确度可见该求积公式是Gauss型求积公式3、求出二点Gauss求积公式中系数,及节点,。并用此公式计算积分(结果保留5位小数)解:依次取代入积分公式,令左端=右端,得由可得,继而可求得,及对

6、应求积公式:对于,利用变量代换:,则1、试证明高斯求积公式的求积系数恒为正注:本题不用考虑2、确定常数及使求积公式具有尽可能高的代数精确度,是否为Gauss型求积公式?并用上述所得公式计算积分的近似值(计算过程保留6位小数).解:依次取代入积分公式,令左端=右端,得解得:相应求积公式:取代入公式,有左端=右端取代入公式,有左端右端可见求积公式代数精确度而公式具有节点数,而所以,该求积公式为Gauss型求积公式1、求积公式的代数精确度为多少阶解:依次取代入积分公式,得左端=右端当取时,左端右端,故公式的代数精确度为2、利用复合梯形公式

7、近似计算定积分,要求计算误差不小于,试估计区间等分数解:根据复合辛普森公式的余项这里注意到故有令,解得可见当取时,对应的复合辛普森公式可满足精度要求

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