数值分析-7__数值积分_微分

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1、1数数数值值值积积积分分分在科学与工程问题中经常遇到定积分的计算，电磁场理论中在圆形的导线回路中电流所产生的磁场强度为Z¼r4Ir2¡x¢22H(x)=1¡sinµdµr2¡x204其中I是电流强度，r是回路半径，x是中心的距离，如果I;r;x给定，那么H(r)定义了一个定积分。定积分Zbf(x)dxa如何求解？数学上，设f(x)在[a;b]上可积，F(x)是f(x)的一个原函数，则对8x2[a;b]有Newton-Leibniz公式Zxf(t)dt=F(x)¡F(a):a求出原函数后定积分的计

2、算问题解决！但是对于实际问题Newton-Leibniz公式是远远不够的。1.首先，在整个可积函数类中，能够用初等函数表示的定积分只是很小的一部分。对于绝大部分理论上存在定积分的函数，如ex2;sinx(x6=x0)等并不能用Newton-Leibniz公式求得定积分的值。2.其次，即使被积函数很简单，但其不定积分肯能十分复杂。如被积函数f(x)=1,它的不定积分为x6+1p³2´211x¡11x+x3+1arctanx+arctan+plnp+C;36x43x2¡x3+1表达式很复杂，不能求得

3、精确解，实际计算会有很大的困难。3.在实际问题中，许多函数只是通过测量、试验等方法给出若干个离散点上的函数值，Newton-Leibnize公式难于利用。实际应用中必须考虑定积分的近似方法，而数值积分是最重要的一种近似方法。11.1Newton-Cotes求求求积积积公公公式式式设f(x)2C[a;b],如果已知x=a+b处的函数值f(a+b),则可以得到一个最简单22的求积公式Zba+bf(x)dx¼f()(b¡a):a2若f(x)>0,此公式的几何意义是用长为b¡a，宽为f(a+b)的矩形面

4、积来近2似曲边梯形的面积，因此被称为中点公式。若f(x)2C2[a;b],则中点公式的截断误差为Zb3a+b(b¡a)"f(x)dx¡f()(b¡a)=f(»);»2(a;b):a224如果已知x=a;b两点的函数值f(a);f(b),则有f(x)的一次插值多项式x¡bx¡aL1(x)=f(a)+f(b);a¡bb¡a从而近似的有ZbZbf(a)+f(b)I(f)=f(x)dx¼I1(f)=L1(x)dx=(b¡a):aa2Rb公式的几何意义就是用梯形面积近似曲线f(x)上的面积f(x)dx.为

5、了讨a论梯形公式的误差E1(f)=I(f)¡I1(f)需要微积分中的积分中值定理。定定定理理理1(积分第一中值定理).设f(x);g(x)2C[a;b],且g(x)在[a;b]上不变号，则存在»2[a;b]使得ZbZbf(x)g(x)dx=f(»)g(x)dx:aa定定定理理理2.设f2C2[a;b],则梯形公求积公式的截断误差为Zb3b¡ahf(x)dx¡[f(a)+f(b)]=¡f"(»);»2[a;b];h=b¡a:a212证明：误差ZbZbb¡aE1(f)=f(x)¡[f(a)+f(b)

6、]=[f(x)¡L1(x)]dxa2aZbf(x)¡L1(x)=(x¡a)(x¡b)dx:a(x¡a)(x¡b)2由L'Hospital法则值被积函数在[a;b]上连续，由积分中值定理Zbf(z)¡L1(z)E1(f)=(x¡a)(x¡b)dx;z2[a;b](z¡a)(z¡b)a注意到Zb3h(x¡a)(x¡b)dx=¡a6并利用插值多项式的余项表达式得h3E1(f)=¡f"(»);»2[a;b]:12推推推论论论1.设f2C2[a;b],则有13jI(f)¡I1(f)j·kf"k1(b¡a)

7、:12R1例例例1.用梯形公式计算I=1dx。01+x解：由梯形公式有113I1(f)=(1+)==0:75224I的准确值为ln2¼0;693147,计算的误差I¡I(f)¼¡0:0569.12f(x)=;f"(x)=;kf"k1=2;1+x(1+x)3用推论得估计11jI(f)¡I1(f)j·£2£1=¼0:16667:126为了使计算定积分I(f)更准确，用f(x)在[a;b]上的二次插值函数L2(x)来代替L(x).插值节点取为x=a;x=a+b;x=b,则10122(x¡x1)(x¡x

8、2)(x¡x0)(x¡x2)L2(x)=f(x0)+f(x1)(x0¡x1)(x0¡x2)(x1¡x0)(x1¡x2)(x¡x0)(x¡x1)+f(x2):(x2¡x0)(x2¡x1)Zbb¡aa+bI(f)¼L2(x)dx=[f(a)+4f()+f(b)]:a623令b¡aa+bI2(f)=[f(a)+4f()+f(b)];62称I(f)为Simpson求积公式或抛物型公式。如果f(x)2C4[a;b]，则截断误2差为Zb5(b¡a)(4)f(x)dx¡I2(f)=¡f(»);»2(a;b):