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1、计算定积分有微积分基本公式但很多函数找不到原函数，如等。而实际上，有很多函数只知一些离散点的函数值，并无表达式，这就需要利用已知条件求出近似值。第5章数值积分与数值微分x12345f(x)44.5688.51数值积分/NumericalIntegration/定义数值积分如下：是离散点上的函数值的线性组合称为求积系数,与f(x)无关,与积分区间和求积节点有关称为数值积分公式数值积分问题可分解为下述三个问题：1、求积公式的具体构造问题；(包括xi的选取和Ai的构造)3、精确性程度的衡量标准问题。2、余项估计问题(亦即误差估计问题)；求积公式的误差R[f]
2、＝I*[f]－I[f]21、解决第一个问题；节点xi和系数Ai如何选取，即选取原则两个目标：1、余项估计问题；求积公式的误差R[f]＝I*[f]－I[f]尽可能小。2、求积公式的代数精度尽可能高。2、解决第二个问题；依赖插值多项式的余项估计公式。3、对于第三个问题；引进代数精度的概念3定义5.1若求积公式对(x)=xj(j=0,1,2,…,m)都精确成立,但对(x)=xm+1不精确成立,即则称此公式具有m次代数精度.可见,若公式具有m次代数精度,则公式对所有次数不超过m的多项式都精确成立.注意：１、求积公式的误差是计算精度的度量标志，而代数精度是求
3、积公式优良性能的标志。2、求积公式的误差小，不代表代数精度高。代数精度高，也不代表求积公式的误差小。它们没有必然联系。4例1确定形如的求积公式，使其代数精度尽可能高。数值求积公式为解令公式对ƒ(x)=1,x,x2都精确成立,则A0+A1+A2=3A1+3A2=4.5A1+9A2=9解之得:A0=0,A1=9/4,A2=3/4.例2试确定参数A0,A1,A2,使求积公式具有尽可能高的代数精度,并问代数精度是多少?5解得:A0=A2=1/3,A1=4/3.求积公式为当(x)=x3时,左=0,右=0,公式也精确成立.解令公式对ƒ(x)=1,x,x2都精确成
4、立,则A0+A1+A2=2-A0+A2=0A0+A2=2/3当(x)=x4时,左=2/5,右=2/3,公式不精确成立.所以,此公式的代数精度为3.6例3试确定参数A0,A1和x0,x1,使求积公式具有尽可能高的代数精度,并问代数精度是多少?解令公式对ƒ(x)=1,x,x2,x3都精确成立,则A0+A1=2A0x0+A1x1=0A0x02+A1x12=2/3A0x03+A1x13=0解得:求积公式为求积公式的代数精度为3。75.1插值型求积公式思路利用插值多项式，则积分易算。在[a,b]上取ax05、k由决定，与无关。节点f(x)插值型积分公式误差8例：对于[a,b]上1次插值，有考察其代数精度。f(x)abf(a)f(b)梯形公式/*trapezoidalrule*/解：逐次检查公式是否精确成立代入P0=1：=代入P1=x：=代入P2=x2：代数精度=1定理：形如的求积公式至少有n次代数精度该公式为插值型（即：）9为了简化计算,取等距节点xk=a+kh,(k=0,1,2,…,n,则有令则有称为Newton-Cotes公式.Ck(n)称为Cotes系数.(5.6)它不仅与函数f(x)无关，而且与积分区间[a,b]无关。10例1设(x)C2[
6、a,b],求n=1时的Newton-Cotes公式并估计误差.解计算Cotes系数于是有5.2几个常用的求积公式从几何上看:用梯形的面积近似曲边梯形的面积。所以公式=T也称为梯形公式,记为T.11称之为Simpson公式或抛物线公式，记为S.构造三次多项式H3(x),使满足H3(a)=(a),H3(b)=(b),于是有容易证明Simpson公式对不高于三次的多项式精确成立,即这时插值误差为=S.例2.设(x)C4[a,b],求n=2时的Newton-Cotes公式并估计误差.解计算Cotes系数12于是有13由于构造Newton-Cotes公式
7、需要Cotes系数,将其列表如下:14（3）牛顿求积公式：代数精度=315例3求n=4的Newton-Cotes公式及误差.解查表可得于是有称之为Cotes公式，记为C。其误差为其中,xk=a+kh,k=0,1,2,3,4,h=(b-a)/4.代数精度=516一般地,Newton-Cotes公式的截断误差为例4用梯形公式、Simpson公式和Cotes公式求积分的近似值。解IT=1/2*(4+2)=3IS=1/6*(4+12.8+2)=3.13333IC=1/90*(28+…+14)=3.14212175.3复化求积公式高次插值有Runge现象，
8、故采用分段低次插值分段低次合成的Newton-Cotes复化求积公式。复化梯形公式：在每个
