数值分析第9章.ppt

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1、第9章常微分方程初值问题数值解法9.1引言1本章研究的问题:29.2欧拉方法9.2.1欧拉公式1欧拉公式3图9.1欧拉折线法4(2)(3)562欧拉公式的截断误差(4)73单步法的局部截断误差与阶局部截断误差可以理解为计算一步的误差.︱8局部截断误差可以理解为计算一步的误差.9则称该方法具有P阶精度.定义2设是初值问题的准确解，若存在最大整数使显式单步法的局部截断误差满足若把上式展开写成则称为局部截断误差主项。104后退的欧拉方法(5)(6)(6)式称为后退的欧拉方法,它是隐式的,欧拉公式(2)是显式的,1112(7)(6)1314后退的欧拉方法的局部截断误差:155梯形方法(8)式

2、称为梯形方法.(8)16梯形方法的局部截断误差:179.2.4改进欧拉法及局部截断误差预测步校正步或者写成1.改进的欧拉公式:182.改进的欧拉方法的局部截断误差19考虑改进Euler法如果将其改成----------(1)9.3Runge-Kutta法20改进Euler法是由梯形公式和Euler公式复合而成梯形公式具有2阶精度(1)式为一种二阶Runge-Kutta法同样可以证明,改进Euler法也具有2阶精度21Runge-Kutta方法的推导22Runge-Kutta方法的一般形式：确定了阶数之后，再通过Taylor展开、比较两边系数的方法，确定各待定系数：23二阶显式Rung

3、e-Kutta方法2425262728例29结果及比较30三阶显式Runge-Kutta方法在推导二阶显式方法的过程中，注意到局部截断误差表达式中h3项包含了以下表达式：因此若要在局部截断误差中消去h3项，必须增加包含了以上各项的多个方程，同时我们注意到r=2时，只有等四个待定系数，少于方程的数目，所以这样的系数不存在。故：r=2时Runge-Kutta方法只能是二阶的。要得到三阶的方法，则必须有r=3。31三阶显式Runge-Kutta方法32四阶显式Runge-Kutta方法33x四阶二阶真解四阶误差二阶误差0.01.0000001.0000001.0000000.00000.0

4、000000.11.1048291.1024501.1048291.60E-72.38E-30.21.2185971.2115071.2185973.40E-77.09E-30.31.3401411.3257661.3401415.48E-71.44E-20.41.4681751.4436711.4681757.69E-72.45E-20.51.6012781.5635061.6012799.95E-73.78E-20.61.7378801.6833741.7378811.20E-65.45E-20.71.8762461.8011791.8762471.42E-67.51E-20.8

5、2.0144571.9146032.0144591.68E-69.99E-20.92.1503952.0210862.1503971.96E-61.29E-11.02.2817162.1178002.2817182.32E-61.64E-1例34结果及比较35结果及比较36关于Runge-Kutta方法37提高Runge-Kutta方法的精度的方法提高精度最简单的方法是缩短步长，但要以牺牲计算速度和积累舍入误差为代价。38变步长的Runge-Kutta方法作为妥协，如果能在计算过程中实时控制步长的大小，就可以在获得较高的计算速度的同时，保证较高的精度。39Runge-Kutta-Fe

6、hlberg方法Fehlberg设计了一个更加精巧的嵌套方法如下：40Runge-Kutta-Fehlberg方法Fehlberg给出的四阶、五阶公式RKF4(5)如下：41Runge-Kutta-Fehlberg方法七阶、八阶RKF7(8)42Runge-Kutta-Fehlberg方法七阶、八阶RKF7(8)43单步法44