数值分析第5章矩阵分析基础.ppt

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1、第五章矩阵分析基础§5.1向量和矩阵的范数1．向量的范数定义1：设XRn，Ｘ表示定义在Rn上的一个实值函数，称之为X的范数，它具有下列性质：（3）三角不等式：即对任意两个向量X、YRn，恒有(1)非负性：即对一切XRn，X0,Ｘ>0(2)齐次性：即对任何实数aR，XRn，设X=(x1,x2,…,xn)T，则有（1）（2）（3）三个常用的范数：范数等价:设‖·‖A和‖·‖B是R上任意两种范数，若存在常数C1、C2>0使得,则称‖·‖A和‖·‖B等价。定理1：定义在Rn上的向量范数是变量X分量的一

2、致连续函数。定理2：在Rn上定义的任一向量范数都与范数等价，即存在正数M与m(M>m)对一切XRn，不等式成立。推论：Rn上定义的任何两个范数都是等价的。对常用范数，容易验证下列不等式：定义2：设给定Rn中的向量序列{}，即其中若对任何i(i=1,2,…,n)都有则向量称为向量序列{}的极限，或者说向量序列{}依坐标收敛于向量，记为定理3：向量序列{Xk}依坐标收敛于X*的充要条件是向量序列依范数收敛与依坐标收敛是等价的。2．矩阵的范数定义3：设A为n阶方阵，Rn中已定义了向量范数，则称为矩阵A的算子范数或模，记为。即

3、矩阵范数的基本性质：（1）当A=0时，＝0，当A0时，>0（2）对任意实数k和任意A，有（3）对任意两个n阶矩阵A、B有（5）对任意两个n阶矩阵A、B，有（4）对任意向量XRn，和任意矩阵A，有例5:设A＝(aij)∈M.定义证明：这样定义的非负实数不是相容的矩阵范数.证明：设从而定理4：设n阶方阵A=(aij)nn，则（Ⅰ）与相容的矩阵范数是（Ⅱ）与相容的矩阵范数是其中1为矩阵ATA的最大特征值。（Ⅲ）与相容的矩阵范数是上述三种范数分别称为矩阵的1-范数、2-范数和∞-范数。可以证明,对方阵和，有(向量

4、

5、·

6、

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8、2的直接推广)Frobenius范数:注：（1）（2）矩阵的Frobenius范数不是算子范数。3．矩阵的范数与特征值之间的关系定理5：矩阵A的任一特征值的绝对值不超过A的范数，即定义4：矩阵A的诸特征值的最大绝对值称为A的谱半径，记为：并且如果A为对称矩阵，则注:Rn×n中的任意两个矩阵范数也是等价的。定义5：设

9、

10、·

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12、为Rn×n上的矩阵范数，A,B∈Rn×n称

13、

14、A-B

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16、为A与B之间的距离。定义6：设给定Rn×n中的矩阵序列{}，若则称矩阵序列{}收敛于矩阵A，记为定理6设B∈Rn×n，则由B的各幂次得到的矩阵

17、序列Bk,k=0,1,2…)收敛于零矩阵（）的充要条件为。4.矩阵的条件数定义5设矩阵为非奇异矩阵，则称为矩阵的条件数，其中是矩阵的算子范数。对矩阵的任意一个算子范数有(2)cond(kA)=cond(A),k为非零常数;(3)若，则注:cond(A)与所取的范数有关常用条件数有：cond(A)2特别地，若A对称，则cond(A)1=‖A‖1‖‖1cond(A)=‖A‖‖‖§5.2初等矩阵初等矩阵对线性方程组的研究起着重要的作用，本节介绍一般形式的初等矩阵，它是矩阵计算的基本工具。5.2.1初等矩阵定义6设向量，则

18、形如的矩阵叫做实初等矩阵，其中是阶单位矩阵，向量，为初等下三角阵。定理5.2.1初等下三角阵具有如下性质：(1)；5.2.2初等下三角矩阵定义7令向量则称矩阵(3)任何一个单位下三角阵都可分裂成因此，对任一非奇异下三角阵，都可分裂成一个非奇异对角阵和若干个下三角阵的乘积。(4)左乘矩阵的结果是从的各行中减去第行乘一个因子。初等下三角阵在矩阵的满秩分解、三角分解以及解线性代数方程组的直接解法中起着重要的作用。(2)为单位下三角阵；5.2.3Householder矩阵定义8设向量，且，称形如为Householder矩阵，或称

19、Householder变换、反射矩阵。要得到Householder矩阵，只要在初等矩阵中，定理5.2.2Householder矩阵具有以下性质：(1)矩阵是对称阵，即；(2)矩阵是正交矩阵，即(3)变换保持向量长度不变，即对任意向量，;，即可。取向量(4)设为以为法向量过原点的超平面，对任意的非零向量，有与关于超平面对称。定理5.2.3对任意的非零向量，可以适当选择合适的向量，满足，用其构造的矩阵可将变换为单位向量的常数倍，使得其中，是实数，并且定义9将阶单位阵改变第行和第列的四个元素得到矩阵5.2.4Givens旋转矩

20、阵称为Givens旋转矩阵，或称Givens变换，为旋转角。是一个正交矩阵，对任意向量，由线性变换，其中，，可得5.2.5Hessenberg矩阵定义10若实矩阵的次对角线以下元素均为零，即时，，称形如的矩阵为上Hessenberg（海森伯格）阵，或拟上三角阵。如果次对角线元素全不为零，则称该矩阵为不可约的上Hess