数值分析课件(第6章).ppt

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1、第6章解线性代数方程组的迭代法6.1几种常用的迭代格式6.2迭代法收敛性理论迭代法的基本思想:，使得它收敛于方程组的解向量迭代法要讨论的主要问题如下：按某种规则构造一个向量序列①如何构造迭代格式③如果收敛，收敛的速率如何②构造的迭代格式所产生的序列在什么情况下收敛④近似解的误差估计。6.1几种常用的迭代格式6.1.2Seidel迭代法6.1.1简单迭代法(Jacobi迭代)6.1.3松弛迭代法(SOR迭代)6.1.1简单迭代法(Jacobi迭代法)把项留在左边,其它项移到右边得到n阶线性代数方程组:设第i个方程两边除得到令再令则有

2、则有选取任意初始向量得到一个新向量把它代入(*)式右边按这样做下去就会得到一个向量序列把它代入(*)式右边又得到一个新向量,记为它通常称为简单迭代序列或Jacobi迭代序列.简单迭代序列中的向量可以表示为它称为简单迭代格式或Jacobi迭代格式,称为初始迭代向量,称为简单迭代矩阵或Jacobi迭代矩阵.即有,记为所以由公式得到简单迭代格式用向量分量表示的形式:因为或者表示为:收敛于对可以证明:若由简单迭代格式所确定的向量序列两边求极限得到,则必为方程组的解向量.证因为向量序列,所以有收敛于而另一方面,若令,则有从而有,而于是得到从

3、而得到简单迭代格式为例6-1用简单迭代法解方程组方程组的准确解是:把方程组改写成解当k=0时,迭代格式为代入得选取初始迭代向量当k=1时,迭代格式为代入得把使用Jacobi迭代格式，得到迭代结果如下表所示:从表中看到，近似解向量序列收敛，且收敛到准确解。000051.09511.19511.294110.720.830.8461.09831.19831.298020.9711.0701.15071.09441.19981.299331.0571.15711.248281.09981.19981.299741.08531.18531

4、.282891.09991.19991.2999Jacobi迭代法算法②k=1,则打印“求解失败”,停机;否则,对j=1,2,…,n计算④迭代对i=1,2,…,n计算⑤若，输出X,k,停机;否则,做下一步.①输入A,b，初始向量Y，容许误差，容许最大迭代次数M若③形成迭代矩阵B（存放在A中）对i=1,2,…,n循环⑥若k

5、边得其中称为Seidel迭代矩阵.收敛于可以证明:若由Seidel迭代格式所确定的向量序列,则必为方程组的解向量.由迭代格式可以得到从而得到Seidel迭代格式为补充例用Seidel迭代法解方程组方程组的准确解是:把方程组改写成解当k=0时,迭代格式为代入得选取初始迭代向量当k=1时,迭代格式为代入得把Seidel迭代法算法②k=1,对i=1,2,…,n做,则打印“求解失败”,停机，否则对j=1,2,…,n计算④迭代对i=1,2,…,n计算⑤若，输出X,k,停机;否则,做下一步.①输入A,b，初始向量Y，容许误差，容许最大迭代次

6、数M若③形成迭代矩阵B（存放在A中）对i=1,2,…,n循环⑥若k

7、,…,n计算⑤若，输出X,k,停机;否则,做下一步.①输入A,b，初始向量Y，松弛因子ω,容许误差，容许最大迭代次数M若③形成迭代矩阵B（存放在A中）对i=1,2,…,n循环⑥若k

8、散.Jacobi迭代格式:Seidel迭代格式:松弛迭代格式:上面几种迭代格式都具有如下形式:其中M为迭代矩阵定理6.1对任何初始向量X(0)和常数项f，由迭代格式产生的向量序列收敛的充分必要条件是迭代矩阵的谱半径可以看到，迭代格式是否收敛与迭代矩