数值分析课件(第4章).ppt

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1、第4章数值积分4.1梯形求积公式、Simpson求积公式和Newton——Cotes求积公式4.2求积公式的代数精确度4.3梯形求积公式和Simpson求积公式的误差估计4.4复化求积公式4.5自动选取积分步长梯形法4.6数值方法中的加速收敛技巧——Richardson外推算法4.7Romberg求积法4.8Gauss型求积公式在微积分中，由积分的基本公式计算定积分的值，这里的为被积函数的原函数。但有时的原函数无法用初等函数来表示。和中的被积函数在实际问题中，有些函数是用函数表表示的，对这种被积函数的积分就更不能通过用求原函数的方法求得。的原函数就不能用

2、初等函数表示出来。例如，积分这说明了，用求原函数的方法求定积分的值有很大局限性。另外，计算机只能进行四则运算和逻辑运算，而不能进行求原函数的运算，所以在计算机上也无法实现这种方法。4.1梯形求积公式、Simpson求积公式和Newton——Cotes求积公式据代数插值法，对于被积函数可以构造一个插值多项式来近似代替它。对上式两边求积分得到而是一个代数多项式，它的定积分是容易计算的。即有可以根据这种想法来构造出几个近似求积公式。4.1.1梯形求积公式由代数插值法知道，可以以a和b作为插值节点构造一个插值多项式来近似代替即有.对上式两边求积分得它的几何意义如

3、图4.1所示。4.1.2Simpson求积公式把积分区间[a，b]二等分，得到三个分点a，和b。据代数插值法，可以以这三个分点作为插值节点，构造一个插值多项式来近似代替，即有对上式两边求积分得它的几何意义如图4.2所示。4.1.3Newton——Cotes求积公式把积分区间[a，b]n等分，得到n+1个分点，其分点记为，其中。由代数插值法知道，可以以这n+1个分点作为插值节点，构造一个插值多项式来近似代替，即有对上式两边求积分得其中作变换，从而得到于是若记则有从而得到称为Newton---Cotes系数。表4-1n从１到６的Newton---Cotes系

4、数n123456。例4-1用梯形求积公式、Simpson求积公式和Newton---Cotes求积公式(取n=4)计算定积分解②用Simpson求积公式③用Newton---Cotes求积公式①用梯形求积公式4.2求积公式的代数精确度定义4.1对一般求积近似公式，如果当为任意一个次精确成立，而当为n+1次代数多项式时不精确成立，则称该数不高于n次的代数多项式时积分近似公式积分近似公式具有n次代数精确度。一个事实：任何一个求积近似公式都可以写成这样的形式其中是不依赖于函数另一个事实：对某些被积函数来说，积分近似公式精确成立。例如，据线性插值的误差估计式有对

5、上式从a到b求积分得即显然，当为不超过一次代数多项式时，。所以即当为不超过一次代数多项式时，梯形求积公式精确成立。定理4.1梯形求积公式具有一次代数精确度。证①证当f(x)为任意一个不超过一次代数多项式时，梯形求积公式精确成立。②证当为二次代数多项式时，梯形求积公式不精确成立。=x2时有所以当=x2时由此推出，当为二次代数多项式时因此，据定义梯形求积公式具有一次代数精确度。因为当定理4.2Newton---Cotes求积公式至少具有n次代数精确度，当n为偶数时，代数精确度至少为n+1次。即根据n次插值的误差估计式有对上式两边从a到b求积分得到当为任意不超

6、过n次代数多项式时，。所以，这说明，Newton---Cotes求积公式至少具有n次代数精确度。①证Newton---Cotes求积公式至少具有n次代数精确度。证②证当n为偶数时，Newton---Cotes求积公式的代数精确度至少为n+1次。为n+1次代数多项式，则可令，其中n为偶数故再据(4.14)有可以证明:当n为偶数时，有从而得知,当为n+1次多项式，且n为偶数时有这说明，当n为偶数时，Newton---Cotes求积公式的代数精确度至少为n+1次。设，从而有定理4.3Simpson求积公式的代数精确度为３。，则由(4.1)式有而从而由此推知，当

7、为4次代数多项式时这说明，当精确成立。因此，得知Simpson求积公式的代数精确度为３。取证由定理4.2，Simpson求积公式的代数精确度至少为３次。为四次代数多项式时，Simpson求积公式不能4.3梯形求积公式和Simpson求积公式的误差估计定理4.4若，则梯形求积公式有误差估计其中a≤η≤b因为x依赖于ξ，所以是x的函数，而且据题意在[a，b]上连续，而（x-a）(x-b)在[a，b]上小于０，从而由积分中值定理得到于是，得到梯形求积公式的误差估计为据(4.12)有证定理4.5若，则Simpson求积公式有误差估计其中a≤η≤b。4.4复化求积

8、公式从梯形求积公式和Simpson求积公式的几何意义来看，使用它们来求积分会产生