第2章-2结构地震反应与抗震计算-多自由度弹性体系地震反应.ppt

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1、2.2多自由度弹性体系地震反应结构抗震计算的特点1结构振动的概念和运动方程2自由振动－固有频率和振型4强迫振动－振型分解法5抗震(强迫振动)－振型分解反应谱法地震作用(随机激励)下的多自由度体系的振动.振型分解法：求解多自由度体系的强迫振动反应谱法：求解最大地震作用效应的方法特点:随机振动＋获得最大地震响应2.2节内容提要1、多自由度体系的运动方程(2-53)2、自由振动方程-固有频率和振型(2-61,62)3、振型的正交性(2-74,75理论问题)4、振型分解法—强迫振动求解方法(P.39,2-84)5

2、、振型分解反应谱法(P.44)6、地震作用效应地震作用效应=振型分解法+反应谱法+平方和开平方ii+1m1m2mimn多层、高层结构的动力计算简图把结构转化成一个多自由度体系楼板上下各取层高的一半，这个范围内的全部质量集中到该层对应的质点上。该层以下的全部抗侧力构件的刚度累加作为多质点体系的刚度。多自由度体系的振动把结构简化为无质量杆件连接到集中质量通常每层简化为一个位于楼板处的质点。1、11.61810.618多自由度体系振动规律要点n个自由度的体系有n个固有周期(频率)每个周期对应一个振型。最大的一个

3、固有周期称为基本周期，对应的振型称为基本振型。基本振型总是与体系的最简单变形形式相近，这种变形形式对应体系较小的势能。任何复杂的振动都是各种振型的线性迭加。振型反应了结构振动在空间的变化形式。对应不同固有周期的振型是正交的。体系按一个振型振动时，结构的曲线形式不变。各点的振动大小不同，但保持相同的比例。2.2.1.1运动方程任何多自由度系统在地震作用下的振动方程均可以写成如下形式的常微分方程组：复习：设刚度矩阵中的元素为kij。它的物理意义是所以质点保持不动，仅仅质点j处产生的单位位移，所引起的在质点i处

4、引起的弹性反力。2自由振动以上方程是二阶常系数非齐次线性常微分方程组。其解为通解加特解。对于这组方程，我们最关心的通常不仅是它的特解，同时也关系它的齐次解。方程的齐次解对应结构的自由振动。所谓自由振动所描述的是在一定的初始激励下(初始速度或初始位移)，系统开始振动。在振动过程中系统上不再有其它的外部激励。此时，结构的振动将完全取决于其本身的特性。研究表明阻尼对结构自由振动的频率影响不大，所以在考虑自由振动时，通常忽略阻尼的影响。2.2.1.2多自由度体系的动力特性无阻尼自由振动方程为使它有非零解得到频率方

5、程：(教材中称为特征方程)动力特性方程(振型方程)频率方程两个自由度体系自振频率计算例题2.-4两个自由度体系(P.38)计算固有周期注意：只有1~3个自由度的问题，可以用代数方法得到固有频率。一般只能用数值方法计算。求振型线性代数中有常规方法从特征值获得特征向量MATLAB可以很方便地计算任何矩阵的特征值和特征向量[V,D]=eig(A,‘nobalance’);%求A的特征值和特征向量频率方程—广义特征值问题频率方程是一个代数方程（用行列式表达）该方程中唯一的一个未知数是园频率ω。频率方程是ω2的n次

6、代数方程。于是根据代数基本定理，它必然有n个根。于是我们将得到n个ω2。进而得到n个ωj(因物理意义上不符合需要而不考虑负频率)。这些圆频率ωj称为结构的固有频率。得到它们的过程中表明：它们是在没有右端项时(无外部激励)，结构发生振动(非静止)时可能的振动频率。通常把这些固有频率从小到大依次排列。第一阶固有频率也称为基本频率。基本频率所对应的周期称为基本周期(最大)。实际工作中，只要方程建立起来了，可以用现成的程序立即得到各阶固有频率（固有周期）。3.振型—特征向量把求得的每一个固有频率ωj代入到动力特性

7、方程此时方程的系数矩阵为零，所以有无穷多组解。这些解之间是线性相关的。它们之间有确定的关系：假设Xj为对应第j个频率的解，那么对于任何实数，也是方程的解：看来幅值的绝对大小是不重要的，也是没有意义的。有意义的仅仅是各元素的相对大小。我们通常把的所有元素除以一个特定的值，以便使得振型中元素的值比较简单不至于过大或过小。这样做并不会影响振型向量中各元素值的比例。称为振型的归一化主应力：剪应力为零xynabc从上式可以根据应力分量求出主应力主应力是应力张量矩阵的特征值，主方向是特征向量特征值的定义求解振型的例题

8、上式中的行列式就是(4-53)在本问题中的具体形式振型关于振型的要点－1一般凡提到振型都是指在归一化以后的那一个。每个频率对应一个振型。有多少个自由度就有多少个频率/振型。任何复杂的振动都是各种振型的迭加。振型反应了结构振动在空间的变化形式。按一个振型振动时，结构的曲线形式保持不变。各点的振动虽然大小不同，但保持相同的比例。基本振型总是与体系的最简单变形形式相近，这种变形形式对应体系较小的势能。注意：本教材中总是以i代表质点，