第三章状态方程的解.ppt

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1、第三章线性系统状态方程的解3.1线性时不变系统齐次状态方程的解3.2状态转移矩阵3.3线性时不变系统非齐次状态方程的解3.4连续系统的时间离散化3.5线性离散系统状态方程的解控制系统的运动分析是系统性能定量分析的重要内容。两种提法：状态方程求解——数学术语系统的运动分析——物理学概念“运动”是物理学上的一个概念,它是通过求系统方程的时域解来分析研究的。状态方程——矩阵微分方程输出方程——矩阵代数方程求系统方程的解主要是求状态方程的解。§3.1线性时不变系统齐次状态方程的解齐次状态方程：，控制输入为零。(1)若A为标量有：初始时刻则系统在没有控制输

2、入的情况下，由系统的初始状态引起的自由运动。(2)若A为方阵，绝对一致收敛级数称为矩阵指数矩阵级数证明：设方程的解为代入得比较t的同次幂可得当时，有整理得定义矩阵指数函数则有（若,则有）例3.1.1已知，求。解：§3.2状态转移矩阵§3.2.1状态转移矩阵及其性质线性定常系统在状态空间中任意时刻t的状态是通过矩阵指数函数由初始状态在(t-t0)时间内的转移。状态转移轨线本质上，它的作用是将t0时刻的系统状态矢量Xt0转移到t时刻的状态矢量Xt，也就是说它起到了系统状态转移的作用，所以称之为状态转移矩阵，并记为：形式上，是一个矩阵指数函数，而且也是

3、一个各元素随时间t变化的n×n矩阵。或齐次状态方程的解，可表示为或系统的状态转移矩阵为1、定义由于系统没有输入量，系统的运动X(t)是由系统初始状态激励的，因此系统的运动称为自由运动。包含了系统自由运动形态的全部信息，完全表征了系统自由运动的动态特性。而自由运动轨线的形态是由决定的，也就是由A阵唯一决定。2、状态转移矩阵性质(1)零变换：(2)可导性：(3)(4)可逆性：(5)传递性：(6)当且仅当AB=BA时，有状态转移矩阵性质(1)零变换：(2)可导性：(3)(4)可逆性：(5)传递性：(6)当且仅当AB=BA时，有即有根据【性质(1)证明】

4、：【性质(2)证明】：即有根据【性质(3)证明】：即有根据由性质(1)和性质(3)，得：【性质(4)证明】：等式两边左乘，即有【性质(5)证明】：略【性质(6)证明】：根据矩阵指数的定义：如果则否则不成立,即比较上述展开式t的各次幂的系数可知，若矩阵A、B可交换，即AB＝BA，那么解：根据性质(2)和性质(4)例3.2.1已知某系统的转移矩阵求系统矩阵A。§3.2.2几个特殊的状态转移矩阵则有：(1)若为对角矩阵证：由定义知则有：约当矩阵若为（2）则有：（3）若A为具有约当块的矩阵其中：为约当块则有：(4)若为证：由定义知令其中，则§3.2

5、.3状态转移矩阵的计算1、直接法根据矩阵指数的定义直接计算。例3.2.2已知，求。解：根据定义有优点：步骤简单、适用于计算机求解。缺点：计算结果是一个无穷级数，难以获得解析式，不适合手工计算。等式两边左乘，有取拉普拉斯反变换有2、拉普拉斯变换法取拉普拉斯变换例3.2.3试求如下线性定常系统的状态转移矩阵和状态转移矩阵的逆解：状态转移矩阵由下式确定由于其逆矩阵为因此由于，故可求得状态转移矩阵的逆为3、化矩阵A为对角形法那么状态转移矩阵为若矩阵A的特征值互异时，则存在非奇异变换矩阵P，将矩阵A变换为对角线标准型，即证：由于则解：1)特征值例3.2.4

6、已知矩阵试计算矩阵指数2)计算特征向量：3)构造变换阵P：则有：4、应用凯莱-哈密顿定理，计算凯莱-哈密顿定理：矩阵A满足自身的特征方程。即根据凯莱-哈密顿定理，则有特征方程：即例3.2.5用凯莱-哈密顿定理计算解：由凯-哈定理：所以则有：其中，，为待定系数。若A的特征值互异，即两两互异时，的计算方法为：例3.2.6线性定常系统的齐次状态方程为用凯-哈定理计算其状态转移矩阵解：即状态转移矩阵为§3.3线性时不变系统非齐次状态方程的解考虑系统：两边积分得：将左乘后求导得：更一般的形式为：系统的动态响应由两部分组成：一部分是由初始状态引起的系统自由运

7、动，叫做零输入响应；另一部分是由控制输入所产生的受控运动，叫做零状态响应。例3.3.1求下列系统的时间响应式中，u(t)为t=0时作用于系统的单位阶跃函数，即u(t)=1(t)。解：状态转移矩阵为因此，系统对单位阶跃输入的响应为：或如果初始状态为零，即x(0)=0,可将x(t)简化为1.脉冲信号输入，即：时即2.阶跃信号输入，即例3.3.2求下列状态方程在单位阶跃函数作用下的输出：解：其中，，假定：1）按等采样周期T对被控对象进行采样；2）采样周期为T，满足香农采样定理要求，包含连续信号全部信息；3）具有零阶保持器。§3.4连续系统的离散化§3.

8、4.1线性定常系统离散化考虑系统：其状态方程的解为：则有：令则令则线性时不变系统离散状态方程为：令§3.4.2近似离散化考虑系统当采样周