2.状态方程的解

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1、现代控制理论基础讲义第二章状态方程的解Chapter2状态方程的解我们要解决的问题是:在系统初始时刻时,初始状态为的条件下,对该系统施加控制,求出系统状态的变化,即求解非齐次方程()初值问题的解:或者在系统不加控制,(称为自由系统)的条件下,求出初值对系统状态的影响,即求解齐次方程初值问题的解:2.1线性定常系统状态方程的解2.1.1阶、线性、定常()连续系统齐次状态方程的解我们知道:常系数线性微分方程(标量方程),,其解为对齐次状态方程(矩阵方程),,很自然,仿照常系数线性微分方程,可得到阶线性、定常、连续系统齐次()状态方程的解定义矩阵指数:,它仍是一个矩阵。若初始时间为,则状

2、态方程的解为称为定常(连续)系统的状态转移矩阵。物理意义:将系统从初始状态转移到(时刻的)状态。2.1.2矩阵指数的性质(1)称为频域求法或叫变换法;(2);(3);(4);9现代控制理论基础讲义第二章状态方程的解(5)若矩阵满足交换律,则有(、可交换的充要条件是为反称矩阵,称为对称矩阵,称为反称矩阵)对称矩阵;反称矩阵(6);(7);(8)设是与同阶的非奇异矩阵,则有;图2-1状态的传递性P31(9)传递性:对任意满足,有。这表明状态轨线由时刻的转移到时刻的等于由时刻的转移到时刻的,再由时刻的转移到时刻的(参见图2-1),故称为状态转移矩阵。这意味着,状态方程的解可以任意分段求取

3、,这就有可能避开对初始条件的处理,这是动态系统用状态空间法的又一优点。而在经典控制理论中,用高阶微分方程描述的系统,求解时对初始条件的处理是非常麻烦的,一般都假设去计算系统的响应。2.1.3矩阵指数的计算方法(1)定义法求这种方法很适合计算机求(级数)数值解,由于的存在,可以取到任意精度,但不易求解析解,只有在是“幂零矩阵”的情况下才可求得解析解。9现代控制理论基础讲义第二章状态方程的解幂零矩阵:存在某一正整数,使得称为次“幂零矩阵”。为幂零矩阵的“充要条件”是的所有特征值为零:,特例:为数字矩阵,即例2-1:,,,3次“幂零矩阵”(2)法求,但当阶数较高时,求解较困难。下面介绍法

4、捷耶夫算法,给出递推公式。计算顺序是:注意:为矩阵之迹,即矩阵对角线元素之和;当时,计算必有误。例2-2()已知,求。解:用法捷耶夫法计算取,9现代控制理论基础讲义第二章状态方程的解,,;,结果相同。(3)(凯莱—哈密尔顿)法求将展开成矩阵的多项式,然后根据的特征值情况求出展开系数。——是待定系数,问题的关键是求出待定系数。(3a)先求出的特征值,当有个不同特征值情况下,可以用如下方法求展开系数写成分列式:这里共有个方程,可以唯一确定个待定系数。(3b)先求出的特征值,当有个单特征值,个重特征值,重数分别为情况下,可用如下方法求系数9现代控制理论基础讲义第二章状态方程的解,,┅,,

5、对单根情况,按(3a)方法求解待定系数。但在重根情况下,我们不能得到相应个数的独立方程,不能求出待定系数。先固定一个重特征值,满足的方程有一个,再对求次导数得到个方程,这样一共得到个独立的方程,(必须先求对求导,再代入的值)这样又可以唯一的求出待定系数。例2-3()解:先求的特征值,(4)特征值与特征向量法求(略,自己看书)2.1.4线性、定常、连续、非齐次()状态方程的解前面已经求出齐次方程,,的解为对非齐次状态方程:将上述状态方程左乘移项得积分、移项并左乘,得非齐次状态方程的解为物理意义:自由系统(只有初条件作用)的解+强迫项作用的解。((2-17)勘正为,倒数第3行勘正为)例

6、2-5,求输入,初态9现代控制理论基础讲义第二章状态方程的解时的。书上的解错了解:根据例2-4知,这是给定系统输入和系统初条件情况下,求解系统的输出问题。,作业2-1.验证满足状态方程,,并且满足初条件。2.2线性、时变连续系统状态方程的解在线性定常(齐次)连续系统中,其解可用状态转移矩阵求出:。同理,在线性时变(齐次)连续系统中,其解可用状态转移矩阵(参见图2-2)求出:定理2-3()阶线性时变连续齐次方程,的解为,状态转移矩阵满足,。这实际上并没有解决,因为求解“矩阵微分方程”与求解“原状态方程”同样困难。特例:在定常连续系统中转移矩阵,但对于时变系统,状态转移矩阵不一定能写成

7、形式。补充定理:只有当与可交换时,才可以如下求得9现代控制理论基础讲义第二章状态方程的解图2-2状态转移矩阵的作用P39图2-3状态的传递性P39状态转移矩阵的性质:*传递性:;(参见图2-3)*可逆性:,时间反演!*设的个线性无关解为,其中每一个都是维列向量()。用他们组成的矩阵称为状态方程的基本矩阵即基本矩阵为:则有,即“转移矩阵”可以用“基本矩阵”表示出来。所以,问题转化为如何求出个线性无关向量解。然而,求出方程的个线性无关解并非易事。定理2-4()阶线性、时变

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