状态方程的解.doc

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1、3状态方程的解内容提要本章主要讨论线性系统的定量分析问题，即状态方程的求解问题。讲述了状态方程的求解方法，介绍了线性定常连续系统齐次和非齐次状态方程的解，线性连续时变系统及线性离散时间系统状态方程的解。分析了系统状态变量解的组成，系统状态运动由初始状态引起的自由分量和输入控制作用引起的强制分量两部分所构成。系统运动的关键在于状态转移矩阵，本章分析了状态转移矩阵的性质及计算方法，重点介绍了定常系统的状态转移矩阵的性质和计算。两种常用的计算方法一种是：频域中的拉式变换法，即一种是利用相似变换，使系数矩阵化为特征值标准型(对角线矩阵或者约当矩阵，有复

2、数特征值时为模态型矩阵)矩阵，则有并结合离散系统状态方程的求解，讲解了连续时间系统的离散化问题。最后介绍了利用MATLAB求系统状态响应的方法。习题与解答3.1计算下列矩阵的矩阵指数。解1)2)3)-47-4)□3.2已知系统状态方程和初始条件为1)试用拉氏变换法求其状态转移矩阵；2)试用化对角标准形法求其状态转移矩阵；3)试用化为有限项法求其状态转移矩阵；4)根据所给初始条件，求齐次状态方程的解。解1)，-47-其中，则有而，所以状态转移矩阵为：2)对于，对于，-47-3)矩阵的特征值为,对于有：对于有：因为是二重特征值，故需补充方程从而联立

3、求解，得：4)□-47-3.3矩阵是的常数矩阵，关于系统的状态方程式，有时，则时，则试确定这个系统的转移矩阵和矩阵。解系统的零输入响应是因此，将它们综合起来，得由此，得由状态转移矩阵的性质可知，状态转移矩阵满足微分方程和初始条件因此代入初始时间可得矩阵为：-47-□3.4二阶标量微分方程式令、，关于的系统状态方程式为这时，试证明系统的转移矩阵是证按照则状态转移矩阵为：□3.5关于矩阵、，当时，利用的性质，试确定系统的状态转移矩阵。-47-解，再利用题3.4的结果可得：3.6矩阵是常数矩阵，关于系统的状态方程式时，为时，为这时，试确定系统的转移矩

4、阵和矩阵。解由已知条件得由此得□-47-3.7给定一个二维连续时间线性定常自治系统。现知，对应于两个不同初态的状态响应为对对试据此定出系统矩阵。解因为是系统的状态响应，故必满足系统方程。因此有两式综合起来得：则有□3.8试说明下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求与之对应的矩阵。1)2)-47-解1)由状态转移矩阵的性质可知，一矩阵若是状态转移矩阵，则必满足。令，则有因此不是状态转移矩阵。2)假设是状态转移矩阵，则状态转移矩阵满足矩阵微分方程且而所以是状态转移矩阵。□-47-3.9已知系统的转移矩阵是时，试确定矩阵。解因为是状态转移

5、矩阵，所以有将，代入得：□3.10已知系统状态空间表达式为1)求系统的单位阶跃响应；2)求系统的脉冲响应。解1)，时，时，-47-将代入求解公式得：+若取，则有2)由(1)知取，则有-47-若取，则有，□3.11求下列系统在输入作用为：①脉冲函数；②单位阶跃函数；③单位斜坡函数下的状态响应。1)，2)解1)①注意到，由求解公式知-47-取，则②，若取，则有③，若取，则有-47-2)所以时，时，①，取，-47-②，取，③，取，□3.12线性时变系统的系数矩阵如下。试求与之对应的状态转移矩阵1)2)解1)因为-47-说明和是不可交换的，亦即和是不可

6、交换的。则按下式计算状态转移矩阵为此计算：所以状态转移阵为：2)求解系统自治状态方程组-47-得到再任取两组线性无关初始状态变量：以导出两个线性无关解：由此，得到系统的一个基本解阵：于是，利用状态转移矩阵关系式，即可定出状态转移矩阵：□3.13对连续时间线性定常系统，试利用拉普拉斯变换证明系统状态运动的表达式为证对状态方程取拉普拉斯变换得上式取拉氏反变换并考虑到矩阵指数的卷积积分，即得□3.14已知线性定常离散系统的差分方程如下：-47-若设，试用递推法求出。解同理，递推得：□3.15设线性定常连续时间系统的状态方程为，取采样周期，试将该连续系

7、统的状态方程离散化。解首先计算矩阵指数。采用拉氏变换法：进而确定离散时间系统的系数矩阵。将代入得-47-故系统离散化状态方程为□3.16已知线性定常离散时间系统状态方程为；设与是同步采样，是来自斜坡函数的采样，而是由指数函数采样而来。试求该状态方程的解。解首先求状态转移矩阵：-47-利用即可求得。□3.17试证明：如是二阶方阵，其特征值为和，特征向量为和，则方程的解一定能够表示成其中常数和由下式确定。利用此结论求解方程。证令，其中，，则-47-令(1)(2)由(1)得(3)(4)由(2)得：(5)(6)(4)+(6)，得：(3)+(5)求解题中

8、方程：对于，可得-47-对于，可得于是有进而知最后可得□-47-