递推关系式数学.pdf

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1、专家讲坛：由递推公式求通项的7种方法及破解数列中的3类探索性问题一、由递推公式求通项的7种方法1、an＋1＝an＋f(n)型把原递推公式转化为an＋1－an＝f(n)，再利用累加法(逐差相加法)求解，即an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝a1＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(n－1)．11[例1]已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝an＋，求an.2n2＋n1111[解]由条件，知an＋1－an＝＝＝－，则(a2－a1)＋(a3－a2)＋n2＋nnn＋1nn＋111111111－－－－(a4－a3)＋…＋

2、(an－an－1)＝2＋23＋34＋…＋n－1n，1∴an－a1＝1－.n11131∵a1＝，∴an＝＋1－＝－.22n2n2、an＋1＝f(n)an型an＋1a2把原递推公式转化为＝f(n)，再利用累乘法(逐商相乘法)求解，即由＝ana1a3ananf(1)，＝f(2)，…，＝f(n－1)，累乘可得＝f(1)f(2)…f(n－1)．a2an－1a12n[例2]已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝·an，求an.3n＋1nan＋1n[解]由an＋1＝·an，得＝，n＋1ann＋1anan－1a2n－1n－21222故an＝··…··a1＝··…·

3、·＝.即an＝.an－1an－2a1nn－1233n3n3、an＋1＝pan＋q(其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0)型对于此类问题，通常采用换元法进行转化，假设将递推公式改写为an＋1＋tq＝p(an＋t)，比较系数可知t＝，可令an＋1＋t＝bn＋1换元即可转化为等比数列p－1来解决．[例3]已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，求an.[解]设递推公式an＋1＝2an＋3可以转化为an＋1－t＝2(an－t)，即an＋1＝2an－t，则t＝－3.故递推公式为an＋1＋3＝2(an＋3)．bn＋1an＋1＋3令bn＝an＋3，

4、则b1＝a1＋3＝4，且＝＝2.bnan＋3∴{bn}是以b1＝4为首项，2为公比的等比数列．∴bn－1n＋1n＋1n＝4×2＝2，即an＝2－3.4、ann＋1＝pan＋q(其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0)型n＋1an＋1pan1(1)一般地，要先在递推公式两边同除以q，得＝·＋，引入辅助数列qn＋1qqnqan其中bn＝p1{bn}qn，得bn＋1＝·bn＋，再用待定系数法解决；qqq(2)也可以在原递推公式两边同除以pn＋1，得an＋1＝an＋1·n，引入辅助数列ppn＋1pnpanq其中bn＝1{bnnn}p，得bn＋1－bn＝p，

5、再利用叠加法(逐差相加法)求解．p151n＋1[例4]已知数列{an}中，a1＝，an＋1＝an＋2，求an.631[解]法一：在a1n＋1n＋1n＋12nn＋1＝an＋2两边乘以2，得2·an＋1＝(2·an)＋1.332令bn＝2n·an，则bn＋1＝bn＋1，32根据待定系数法，得bn＋1－3＝(bn－3)．354∴数列{bn－3}是以b1－3＝2×－3＝－为首项，632以为公比的等比数列．322∴b4n－1nn－3＝－·3，即bn＝3－23.311bnnn于是，an＝＝32－23.2n11bnnnan＝＝32－23.2n11an＋1n＋1法

6、二：在an＋1＝n＋2两边乘以3，得333n＋1ann＋1n＋1＝3an＋2.3n·an＋1令bn＝3n，则bn＋1＝bn＋2.33所以bnn－1n－bn－1＝2，bn－1－bn－2＝2，…，3b2－b1＝22.将以上各式叠加，333得b2n－1nn－b1＝2＋…＋2＋2.5、an＋1＝pan＋an＋b(p≠1，p≠0，a≠0)型这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令an＋1＋x(n＋1)＋y＝p(an＋xn＋y)，与已知递推式比较，解出x，y，从而转化为{an＋xn＋y}是公比为p的等比数列．[例5]设数列{an}满足a1＝4，an＝3an

7、－1＋2n－1(n≥2)，求an.[解]设递推公式可以转化为an＋An＋B＝3[an－1＋A(n－1)＋B]，2A＝2，A＝1，化简后与原递推式比较，得解得2B－3A＝－1，B＝1.令bn－1nn＝an＋n＋1.(*)则bn＝3bn－1，又b1＝6，故bn＝6·3＝2·3，代入(*)式，得ann＝2·3－n－1.6、an＋1＝pa(p>0，an>0)型这种类型一般是等式两边取对数后转化为an＋1＝pan＋q型数列，再利用待定系数法求解．12[例6]已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝·an(a>0)，求数列{an}的通项公式．a12[解]对an

8、＋1＝·an的两边取对数，a1得lgan＋1＝2lgan＋lg.a1令bn＝lgan，则bn＋1＝2bn＋lg.a11bn