由复杂递推关系式求解数列的通项公式问题

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1、2018届高三数学成功在我专题四数列问题三：由复杂递推关系式求解数列的通项公式问题一、考情分析一、考情分析递推公式是给出数列的一种重要方法,常出现在客观题压轴题或解答题中，难度中等或中等以上.利用递推关系式求数列的通项时,通常将所给递推关系式进行适当的变形整理,如累加、累乘、待定系数等,构造或转化为等差数列或等比数列,然后求通项.二、经验分享(1)已知Sn，求an的步骤当n＝1时，a1＝S1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1；(3)对n＝1时的情况进行检验，若适合n≥2的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式．(2)已知数列的前几项，写出数列的通项公式，主要从以下几个方面来考虑

2、：如果符号正负相间，则符号可用(－1)n或(－1)n＋1来调节.分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系来解决.对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决.此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化(转化为等差、等比或其他特殊数列)等方法来解决.(3)已知数列的递推关系求通项公式的典型方法当出现an＝an－1＋m时，构造等差数列；当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列；当出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解；当出现＝f(n)时，用累乘法求解．三、知识拓展若数列满足，则

3、数列都是公差为a的等差数列，若数列满足，则数列都是公比为b的等比数列.四、题型分析(一)用累加法求数列的通项【例1.】在数列中,,,则该数列的通项公式=．【分析】题目已知条件是,且）形式,用叠加原理求解.【解析】因为,所以运用累加法即可得到：,所以,故应填．【点评】当,且）满足一定条件时,可用…来求通项,这种方法通常叫累加法.本题用到裂项相消求和,相消时应注意消去的项规律,及消去哪些项,保留哪些项,于是前项的和变成首尾若干少数项之和.还有不少同学会出现的错误,认为或是常数,实际上或是个变量,变化随之改变.【小试牛刀】数列{an}满足a1＝1,a2＝2,an＋2＝2an＋1－an＋2

4、.(1)设bn＝an＋1－an,证明{bn}是等差数列；(2)求{an}的通项公式．【解析】　(1)证明：由an＋2＝2an＋1－an＋2得,an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2,即bn＋1＝bn＋2.又b1＝a2－a1＝1.所以{bn}是首项为1,公差为2的等差数列．【点评】本例是典型的由数列的递推公式求通项公式的问题．第(1)问中要注意对数列{an＋1－an}的整体把握．第(2)问中用的是累加法．注意切忌忽略对a1的验证．(二)利用累乘法求数列的通项【例2】设是首项为1的正项数列,且,则.【分析】观察已知的递推式,用十字交叉法分解因式,可求得与的关系式,再用累乘法求解.【点评

5、】形如型的递推公式常用累乘法.当为常数且不等于0时,数列为等比数列,；当为函数时,.本题可思考为常数数列.【小试牛刀】【2018河南周口3月质检】数列中，前项和为，(1)求数列的通项公式；(2)令，证明：.【解析】(1)，，两式相减得：，整理得：，（叠乘法）因为，所以，，…，，相乘得，且当=1、2时，满足此式，所以.(2)，因为，所以；.(三)用构造法求数列的通项【例3】【江苏省泰州中学2018届高三12月月考2】已知数列满足：，，（），则数列的通项公式为__________．【分析】变形为,构造新数列求解.【点评】数列是一种特殊的函数,通过递推公式写出数列的前几项再猜想数列的通项

6、时,要验证通项的正确性.易出现的错误是只考虑了前3项,就猜想出.用构造法求数列的通项,要仔细观察递推等式,选准要构造的新数列的形式,再确定系数.【小试牛刀】已知数列满足,,,,则．【答案】．【解析】且,,又,,是首项为,公差为的等差数列,,,．故应填．(四)利用与的关系求数列的通项【例4】【浙江省温州市普通高中2017届高三8月模拟】已知数列的前项和为,．（1）求的通项公式；（2）设,数列的前项和为,证明：．　【分析】（1）已知和与项的关系,要求通项公式,可在已知（）基础上,用代（）,得,两式相减得（）的递推式,求得,注意的值与的表达式的关系；（2）由（1）是分段函数形式,时,,考

7、虑到证明和,因此可放缩以求和,从而得,可证得不等式．【解析】（1）当时,,解得；当时,,解得．当时,,,以上两式相减,得,∴,∴,∴．【点评】由Sn和an的关系求通项的注意问题：(1)应重视分类讨论的思想,分n＝1和n≥2两种情况讨论．当n＝1时,a1不适合an的情况要分开写,即an＝(2)要注意an和Sn互化具有双向性,既可由an化为Sn,也可由Sn求an.【小试牛刀】【河北省唐山市2018届高三第一次模拟】已知数列为单调递增数列，为其前项和，.（1）求的通项公式；