浅谈由递推公式求数列通项公式

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1、浅谈由递推公式求数列通项公式夏燕军(廿肃省临泽一中734000)对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。类型1递推公式为d“+]=an十/(〃)分析：把原递推公式转化为an+｝-an=f(n),利用累加法求解。例1已知数列｛色｝满足a】=-"3片？求％解：由条件知:I_11__1_n2+nn(n+1)nn+1分别令«=1,2,3,，(n-1),代入上式得(/?-1)个等式累加之，即(a2_dj+(dH++(%_%)□__r5-1nJ所以an-a{=1-—又因为％=-n21(131所以％=

2、—1—=2n2n类型2递推公式为分析:把原递推公式转化为细利用累乘法求解。2己知数列｛d“｝满足Q]=-afi解：由条件知-^-=—j-,分别令n=,2,3,……,(n-1),代入上式得(〃一1)个等式累乘之，即空•%a2a3%12372-1=—X—X—XX234n所以且=_乂因为⑷=一，所以〜二一。a、n33n类型3递推公式为（其中p,q均为常数，。分析：把原递推公式转化为:an+1-1=p（an-1）其中『=丄，再利用换元法转化为等比数列求解。1_P例3已知数列｛色｝中,at=1,an+i=2an+3,求％。解：设递推公式〜+严2匕+3可以转化为an+l-t=2（an

3、-t）即吋=2an-t,所以t=-3故递推公式为an+1+3=2@”+3）令仇=5+3,则*=印+3=4,且也=^±^=2叽色+3所以｛仇｝是以b｛=4为首项,2为公比的等比数列,则bn=4x2”t=2,,+,所以〜=2n+,-3类型4递推公式为（其中p,q均为常数，07@-1）（纟一1）h°）。分析：该类型较类型3要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以得:引入辅助数列｛仇｝(其中仇=*),得:n+1再应用类型3的方法解决。1

4、bn2"类型5递推公式为①+2=/加讪+9山(其中P，q均为常数)。分析：先把原递推公式转化为a卄2一®+i=@卄1一®)其中s,t满足再应用前而类型的方法求解。st=-q2

5、例5已知数列｛a”｝中，=1,a2=2,勺曲=「”+i+「”，求色,。解：由心+2=彳色冲+*鑫可转化为an+2-san+l=t(an+i-san)25+/=—即色+2=2+也+】一叫，所以’j3St=——3解得：t1或23[t=s=1这里不妨选用1t=3__2(当然也可选用?=~3,人家可以试一试)，则t=l©+2一5+1=一§（〜+【一Q“）所以｛山+1-勺」是以首项为a2-at=lf公比为-丄的

6、等比数列应用类型1的方法，令n=i,2,3,……,⑺―1),代入上式得(n-1)个等式累加Z,即乂因为①=1,所以an=-~-1“44类型6递推公式为以与％的关系式。(h=1)分析：利用色二1进行求解。[s“-s,j,(n>2)例6已知数列｛〜｝前n项和Sn=4-an-亠。2（1）求色+i与色的关系；（2）求通项公式色。解：⑴由s“=4一色一刁务得:S“+]=4-an+l_占于是St12a,t*/:+!=2%”+2所以0“+1=1-an碍+1+Qi即吋£l/t（2）应用类型4的方法，上式两边同乘以得:由di=S

7、=4-%,得：a}=1于是数列｛2%」是以2为首项，2为公差的

8、等差数列，所以2nan=2+2（n-l）=2n,故an=—类型7双数列型分析：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。例7已知数列肚｝中，⑷i；数列仏”｝中，勺=°。当n>2吋，鑫=*（2〜一1+几），b”=§（%+2g）,求鑫’仇。解：因a”+/?”+仇_]）+*（%]+2b“_J+仇_】所以+仇=an_t+虹]=an_2+bn_2==a2+b2=a}+b}=即d”+仇=1<1>又因为an—b“=£（25-1+仇—J-瓠“一］+2饥_1）=£（%i-乞—J所以仏-"二瓠“一】一乞一】）即…七由vl＞、v2＞得：<2>an