南昌大学 数值分析考博真题.pdf

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1、全国攻读博士学位研究生入学考试试题南昌大学2017年攻读博士学位研究生入学考试试题考试科目：数值分析考试时间：月日（注：特别提醒所有答案一律写在答题纸上，直接写在试题或草稿纸上的无效！）一、求满足条件x12iy23iy1-1i的埃尔米特（Hermite）插值多项式.二、求在区间[0,1]上，关于权函数W(x)x正交的多项式g(x),g(x),g(x)。0122解：设g(x)1，g(x)xag(x)xbxc0121223则由x1(xa)dx0得a0,a-053512222由x(xbxc)dx0得bc00753132168由x(x-)(xb

2、xc)dx0得b0053592573105从而可得a-,b-,c592132105故g(x)1,g(x)x-,g(x)x-x0125921三.给定经验数据x1.001.251.501.752.00iy5.105.796.537.458.46ibx试用形如yae（a,b为常数a0）的经验公式来拟合。bx解对yae两边取对数有lnylnabx，作变换Ylny，Alna，则有YAbx，1，x，(x)1，为了求出A，b，将数据(x,y)转化为(x,Y)，从而有(x,Y)(1.00,1.629)，01iiii11(x,Y)(1.25,

3、1.756)，(x,Y)(1.50,1.876)2233(x,Y)(1.75,2.008)，(x,Y)(2.00,2.135)，由最小二乘法写出法方程组，由于4455555520,015，0,1xi7.5，1,1xi11.875，0,YYi9.404，i1i1i1i151,Yx1Yi14.422，故法方程组为：i15A7.5b9.4047.5A11.875b14.422A解得A1.122，b0.5056，ae3.071，因此最小二乘拟合曲线为1全国攻读博士学位研究生入学考试试题0.

4、5056x*y3.071e(x)四、试证函数系{(x),L,(x),L}中函数{(x),(x),L,(x)}线性无关的充要条件为Gram0n01n矩阵(0,0)(0,1)L(0,n)(,)(,)L(,)G10111nn1LLLL(,)(,)L(,)n0n1nn非奇异，即detG0。n1证明对函数组,,,，若有ccc0，则,,,线性无关的充要条件为01n0011nn01nccc0.01n必要性：假设detG0，则线性代数方程组GC0存在非零解向量，记之为n

5、1n1TTC(c,c,,c)，从而有(c,c,,c)G(c,c,,c)001n01nn101n即有nn(cii,cii)0i1i0n由内积性质（1）可知cii0。这与0,1,,n线性无关相矛盾。故detGn10。i0充分性若,,,线性相关，则存在不全为零的数c,c,,c，使得01n01nccc00011nn用(x)与上式进行内积(j0,1,2,L,n)则有jnn(j,cii)0i0i0即n(j,i)ci0(j0,1,2,L,n)i0故c,c,,c是线性代数方程组Gx0的非零解。

6、从而齐次线性代数方程组有非零解的充要条01nn1件为det(G)0，这与detG0相矛盾，故假设不成立。n1n1五、试证明勒让德多项式系{p(x)}在区间[1,1]上关于权函数(x)1是正交多项式系，即对任n0kj1意p(x)和p(x)，有p(x)p(x)dx2成立。kjkj1kj2k1证明不妨设kj，当k>j时，按分部积分法有112k(k)2j(j)2k(k1)2j(j1)[(x1)][(x1)]dx[(x1)][(x1)]dx...1111j2k(kj)2j(2j)j2k(kj)(1)[(x1)][(x

7、1)]dx(1)(2j)![(x1)]dx1111j2k(kj)j2k(kj1)(1)(2j)![(x1)]dx(1)(2j)![(x1)]0-11当k=j时，由于2全国攻读博士学位研究生入学考试试题112k(kj)2k[(x1)]dx(x1)dx令（xsint)-112k2k1k(2k)!!2(1)costdt2(1)0(2k1)!!从而可见k>j时有11112k(k)2j(j)(p(